算法复杂度分析的符号

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在进行算法的复杂度分析的时候, 我们常常使用以下四个符号, 即 $o$, $O$, $\Omega$和 $\Theta$. 假设一个算法的时间(或空间, 以下统一使用时间)复杂度为 $T(n)$, 其中 $n$是这个算法处理的数据集的规模, 则这四个符号的定义如下:

• 若存在常数 $c$和 $n_0$, 使得当 $n\ge n_0$时, $T(n)\le cf(n)$, 即这个算法的时间复杂度的上限是 $f(n)$, 则这个算法的时间复杂度为 $O(f(n))$.
• 若存在常数 $c$和 $n_0$, 使得当 $n\ge n_0$时, $T(n)\ge cf(n)$, 即这个算法的时间复杂度的下限是 $f(n)$, 则这个算法的时间复杂度为 $\Omega(f(n))$.
• 若这个算法的时间复杂度同时是 $O(f(n))$和 $\Omega(f(n))$, 即这个算法的时间复杂度恰好是 $f(n)$, 则我们称这个算法的时间复杂度为 $\Theta(f(n))$.
• 若这个算法的时间复杂度是 $O(f(n))$但是它的时间复杂度不是 $\Theta(f(n))$, 即这个算法的时间复杂度的上限是 $f(n)$, 但是它的时间复杂度不等于 $f(n)$, 则我们称这个算法的时间复杂度为 $o(f(n))$.