通信原理教程chapter4

通信原理教程chapter4

感冒+繁忙著

教材用的是《通信原理教程》(第三版)–樊昌信著

第四章 模拟信号的数字化

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模拟信号的数字化(AD转换)

模电里面也说过,AD转换包括三个基本步骤:抽样,量化,编码,前两个在模电和信号与系统里面其实已经讲得7788了,这章的重点在于基带信号的编码.还有一些就是带通信号的抽样频率,抽样信号的非均匀量化这两个新一点的东西.

这里我们顺便帮大家复习一下信号的分类,当初看见这个图的时候,对在写的这篇blog帮助很大.务必看到每个过程中的信号是连续还是离散的

抽样

低通模拟信号的抽样

就是信号与系统学的抽样定理:
$2f_H \leq f_s$
其中, $f_s$被称为奈奎斯特(Nyquist)抽样速率,当 $f_s$低于 $2f_H$时,重建的信号会产生混叠失真.相关的证明可自行翻阅任意一本信号与系统教材.

带通抽样定理

当我们的输入信号为一个带通信号时,显然此时的抽样频率应与信号带宽有关,而不是简单粗暴地取上限频率的两倍,这里贴一个小教程:

先从低频信号开始讲起:

在带通采样定理中,如果要将基带信号无失真重建,我们有(和教材稍稍有不同):
$\frac{2f_H}{m} \leq f_s \leq \frac{2f_L}{m-1}$

所以下半部分的教程是:

在此基础上我们来推导一下定理和书上写的公式的不同:
书上写的是:
$fs = 2B + \frac{2kB}{n} = 2B(1+\frac k n)$
其中B为信号带宽,
$n = \lfloor \frac {f_H}{B} \rfloor \quad , \quad 0<k<1$
书上考虑的是信号恰好不发生混叠的时候,就是定理两个等号取到的时候,下面分两种情况来证明:

1. 上限频率是带宽的整数倍 $f_H = nB$
   此时我们已知的条件有:
   $f_H = nB \quad ,\quad f_L=(n-1)B$
   只需回代定义式即可得:
   $f_s = 2B$
2. 上限频率不是带宽的整数倍 $f_H = nB + kB \quad , \quad 0<k<1$
   此时我们已知的条件有:
   $f_H = nB(1 + \frac k n) \quad ,\quad f_L=f_H -B$
   同理带回公式可得:
   $f_s = 2B(1 + \frac k n)$

所以我们可以把第一种情况并入到第二种情况,即k=0,所以有:
$f_s = 2B(1 + \frac k n) \quad ,\quad 0\leq k <1$

在计算的时候,由于k也是一个变量,所以我们只需要联立:
$\begin{cases} f_s = 2B(1 + \frac k n) \\ f_H = nB(1+\frac k n) \\ n = \lfloor \frac {f_H}{B} \rfloor \end{cases}$
即可算出 $f_s$

量化

看第一张图,这个时候是讲幅值离散化.

均匀量化

这个概念大家应该都懂,这里介绍一下他的量化误差和相应的量噪比

考虑量化电平的间隔,设取值范围为(a,b),量化电平数为M,则有量化间隔:
$\triangle v = (b-a)/M$
不妨取取值范围为(-a,a),量化电平为M位,考虑其量化误差:
$N_q = E[(s_k - s_q)^2] = \int^a_{-a}f(s_k)ds_k =\sum^M_{i=1}\int^{m_i}_{m_i-1} (s_k - s_q)^2f(s_k)ds_k$

其中:
$N_q$为量化噪声功率的平均值
$s_k$为信号的抽样值,即s(kT)
$s_q$为量化信号值,即 $s_q(kT)$
$f(s_k)$为信号抽样值 $s_k$的概率密度
$m_i = -a+i\triangle v \quad , \quad q_i=a+i\triangle v-\frac {\triangle v}2$
不妨往下化简:
$N_q =\sum^M_{i=1}\int^{m_i}_{m_i-1} (s_k - s_q)^2f(s_k)ds_k \\=\sum^M_{i=1}\int^{m_i}_{m_{i-1}}(s_k-q_i)^2(\frac1{2a})ds_k \\=\sum^M_{i=1}\int^{-a+i\triangle v}_{-a+(i-1)\triangle v}(s_k+a-i\triangle v+\frac{\triangle v}2)^2(\frac1{2a})ds_k \\ =\sum^M_{i=1}(\frac1{2a})(\frac{\triangle v^2}{12})=\frac{M(\triangle v)^3}{24a}$

由于 $M\triangle v = 2a$,所以有:
$N_q = \frac{(\triangle v)^2}{12}$

另外,信号功率有:
$S = E(s_k^2) = \int^a_{-a}s_k^2f(s_k)ds_k$
代入即可以得到:
$S = \int^a_{-a} s_k^2(\frac1{2a})ds_k = \frac{M^2}{12}(\triangle v)^2$
不把他们合起来是为了计算信噪比:
$S/N_q = M^2$
$(S/N_q)_{dB} = 20\lg M$

这里结论需要知道.

非均匀量化

显然,在均匀量化中,我们策略并不能很好的保存数据中的细节部分,我们最好做到信号抽样值小的时候,取小的量化间隔,在抽样值大的时候,量化间隔也变大.

这里由于篇幅的原因就直接上结论了,对应书本P75,我们所需要知道的是,为了对不同信号强度保持信号量噪比恒定,在理论上要求压缩特性为对数特性

国际上有两种不同的对数压缩律及其对应的近似算法:

1. A压缩律(13折线法),被大陆,欧洲,国际互联时使用
2. $\mu$压缩律(15折线法),被北美,日韩等国家和地区使用

上面的分区会一直看见的.

下面来讲一下A压缩率和13折线法

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A压缩律是这样子的,相关为什么A压缩率可以使信号量噪比基本保持恒定的证明可以看书上.
$y = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { A x } { 1 + \ln A } } & { 0 < x \leqslant \frac { 1 } { A } } \\ { \frac { 1 + \ln A x } { 1 + \ln A } } & { \frac { 1 } { A } \leqslant x \leqslant 1 } \end{array} \right.$

图长这样.
在我国,A的值为87.6

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13折线率是A压缩律的一个近似算法,需要近似的原因很简单,因为A压缩律是一个连续的平滑曲线,所以他是很难用电路的方法表征出来的.
13折线律就是以2为底的指数(0-1)取点来提供非均匀部分,每个段落之间取均匀量化.除了第一段和第二段的斜率一样之外,其余的以2为倍数变化.
图长这样

和A压缩律的比较也在这里,注意看i和y的关系,后面讲到PCM编码的时候会回来这里

后面讲到PCM编码的时候会加深这里的理解,别慌.

编码

终于介绍到这里重点了,不过也是很简单的概念而已

从开篇的第一张图我们就可以知道,编码其实就是将量化出来之后,他在时间上其实是连续的,这个时候我们需要对他编码的话,第一步就是要让他在时间上离散化,也就是抽样.第二部才是对抽样值进行编码

脉冲编码调制(PCM)

脉冲编码调制PCM(pulse code modulation),其实就是在量化的基础上直接加上抽样而已,用信号与系统的概念来讲就是,拿一个脉冲信号取采样量化信号而已.

下面看编码方式之前,先有一个概念

自然二进制码和折叠二进制码

从实现来说,折叠二进制码其实就是自然二进制码的反码,我们可以把最高位看作符号位,将整体减8就可以用上面的方法理解了

从定义上来看的话,其实很简单,他就相当于讲低8段折反,就相当于以7/8为0,向正负边拓展(因为0000和1000都是0,如果将最高位看成符号位的话),可以看出PCM对小信号的较为有利.

编码方式

总的来说是这样的,具体方式见下下图

这里在我们计算模拟值转成PCM的时候就不要翻回去看13折线是怎样的了,我们只要知道13折线是以2位底数选出来的,所以我们只要知道这个值在2的负几次幂之间,+8取小的就是他的段落码了,+8其实是因为前面说的i和y的关系导致的.又因为段内码是均匀量化的,所以我们只需要算一下比例取整就可以了,所以,流程如下:

1. 确定符号位,肉眼可见

2. 确定模拟值的在2的负几次幂之间,比如:

$x\in (2^{-8+M},2^{-8+(M+1)})$
这个时候M就是段落码了(M+1是段落序号,小心)

3. 对他取比例再量化成4位

$n = [\frac{x-2^{-8+M}}{2^{-8+M}} * 2^4 ]$

量化噪声

这里不详细讲:
$S/N_q = 2^{2(B/f_H)}$

###差分脉冲编码调制DPCM
差分脉冲编码调制DPCM(Differential PCM)其实就是用前几个的抽样值来线性预测后一个抽样值,由于收发两端的预测算法是一样的,得到的信息是一样的,所以解码出来的东西自然一样.

但是我觉得这里教材写得不伦不类,主要是预测器没有讲清楚,我总觉得这种用二进制来描述预测的东西总有点不太直观,而且线性预测也太鸡肋了,理论上应是用上自适应算法(那就变成ADPCM了,这里的A是adaptive)才会有理论应用价值.

基于上面的原因,DPCM和后面的增量调制我都不太详细讲了.就简单介绍一下信噪比算了

####DPCM的量噪比
$S/N_q = \frac{3N(M-1)^2}{8\pi^2}\cdot \frac{f_s^3}{f_0^2f_L}$

增量调制

如果说DPCM是自适应算法的话,其实增量调制就是自适应算法里面的LMS算法,也就是最简单的一个预测算法.

相当于把预测的信息量只要1和0来描述你是比我高还是比我低,高我就加一,低我就减一,简单.

但是实际上会有一个问题就是不能处理非平稳信号,因为突变的频率太快或者幅度太大的话都不会被检测到,又或者根本就跟不上变化.

增量调制的量噪比

不作介绍
$\frac{S_{max}}{N_q} = \frac3{8\pi^2} \cdot \frac{f_s^3}{f_0^2f_L}$

结语

这篇博客的前半部分其实很早就写好了,但是后面因为太忙了一直没有写下去,过完这个双11又要开启更加繁忙的科研生活了,所以相应的进度是真的堪忧了哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈,又或者要寻找一个同学合作才行了.

本来是想时间太紧,45章合在一起写的.无奈写的时候觉得想讲的东西太多,但是又没有时间.所以没办法,只能把他们分开写了.

然后这里的公式用了一个神器:mathpix来识别的,不用再自己一个一个敲了,大大节省了时间.