ML入门4.0 手写逻辑斯蒂回归 （Logistic Regression）

逻辑斯蒂回归简介

Logistic Regression 即对数概率回归，是一种广义的线性回归分析模型，是一种应用于二分类问题的分类算法。
常用于数据挖掘，疾病自动诊断，经济预测等领域。例如，探讨引发疾病的危险因素，并根据危险因素预测疾病发生的概率等。以胃癌病情分析为例，选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群必定具有不同的体征与生活方式等。因此因变量就为是否胃癌，值为“是”或“否”，自变量就可以包括很多了，如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既可以是连续的，也可以是分类的。然后通过logistic回归分析，可以得到自变量的权重，从而可以大致了解到底哪些因素是胃癌的危险因素。同时根据该权值可以根据危险因素预测一个人患癌症的可能性。百度百科

原理简介

逻辑回归解决二分类问题，所谓分类就是分割数据，那么逻辑回归的本质就是通过在数据集中学习，拟合出分类的决策边界（决策函数）。

决策边界

两个条件属性（二维平面直角坐标系中）：决策边界为直线；
三个条件属性（三维空间直角坐标系中）：决策边界为平面；
四个条件属性（四维坐标系中）：决策边界为超平面；

线性分割面的表达

二维： $w_{0}x_{0} + w_{1}x_{1} + w_{2}x_{2} = 0$ （PS： $x_{0} \equiv 1$）

三维： $w_{0}x_{0} + w_{1}x_{1} + w_{2}x_{2} + w_{3}x_{3} = 0$

四维： $w_{0}x_{0} + w_{1}x_{1} + w_{2}x_{2} + w_{3}x_{3} + w_{4}x_{4} = 0$

向量表达：
n维： $\boldsymbol X \boldsymbol W$ (X为行向量，W为列向量)

学习与分类

Logistic Regression 的回归任务就是计算向量W
二分类：对于新的对象X’，计算X’W：结果小于0则为0类，否则为1类

损失函数

定义：度量预测结果和实际结果之间的差别

第一种损失函数

令 $X=\{x_{1},...,x_{m}\}$ ,

MSE = $\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}|H(x_{i}w)-y{i}|$

其中 $H(z)= \begin{cases} 0& \text{if z<0}\\ \frac{1}{2}& \text{if z=0}\\ 1& \text{otherwise} \end{cases}$

$H(x_{i}w)$就是分类函数给出的标签， $y_{i}$是真实标签

优点：表达了错误率
缺点：函数H不连续，无法使用优化理论

第二种损失函数

MSE = $\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\frac{1}{2}(\widehat{y_{i}}-y_{i})^2$

其中 $\widehat{y_{i}}=\sigma(x_{i}w)$,

$\sigma(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$ ;

$\sigma(z)' = \sigma(z)(1-\sigma(z))$

缺点:非凸优化，多个局部最优解

第三种损失函数

因为 $0 < \sigma(z) < 1$, 所以将分类函数强行看作概率。
假设：

$P (y_{i} = 1|x_{i}; w) = σ(x_{i}w)$
$P (y_{i} = 0|x_{i}; w) = 1 - σ(x_{i}w)

综合两式可得
$P (y_{i}|x_{i}; w) = (σ(x_{i}w))^{y_{i}} (1 − σ(x_{i}w))^{1−y_{i}}$

由此获得似然函数：

$L(w) = P (Y|X; w)=\prod_{i=1}^{m}(σ(x_{i}w))^{y_{i}} (1 − σ(x_{i}w))^{1−y_{i}}$

因为log具有单调性

$l(w) = log L(w)$

优化目标为 ：

$min_{w}\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} −y_{i}logσ(x_{i}w) − (1 − y_{i}) log(1 − σ(x_{i}w))$

梯度下降法

$\frac{∂l(w)} {∂wj}=\sum_{i=1}^{m}(y_{i} − σ(x_{i}w))x_{ij}$

通过求得优化目标的方向导数（梯度），来确定函数下降的最快方向，由此来更新W以获得最佳W

代码实现

Func1: LoadDataSet(paraFileName)加载数据集

def LoadDataSet(paraFileName):
    '''
    LoadDataSet
    :param paraFileName:
    :return: 特征&标签
    '''
    dataMat = []
    labelMat = []
    txt = open(paraFileName)
    for line in txt.readlines():
        tempValuesStringArray = np.array(line.replace("\n", "").split(','))
        tempValues = [float(tempValue) for tempValue in tempValuesStringArray]
        tempArray = [1.0] + [tempValue for tempValue in tempValues] # 相当于w0对应的x0
        tempX = tempArray[:-1]
        tempY = tempArray[-1]
        dataMat.append(tempX)
        labelMat.append(tempY)

    return dataMat, labelMat

Func2: sigmoid(paraX)分类函数实现

def sigmoid(paraX):
    '''
    sigmoid函数实现
    :param paraX:参数
    :return: 计算结果
    '''
    return 1.0/(1 + np.exp(-paraX))

Func3: gradAscent(dataMat, labelMat)梯度上升法（因为取了优化目标的相反数，所以要求上升最快的方向）求W

def gradAscent(dataMat, labelMat):
    '''
    用梯度上升法求得最优权重
    :param dataMat:
    :param labelMat:
    :return:
    '''
    X = np.mat(dataMat)
    Y = np.mat(labelMat) #transfer the input to matrix
    Y = Y.transpose()
    m, n = np.shape(X)
    alpha = 0.001 # 学习步长
    maxCycles = 1000
    W = np.ones( (n,1))
    for i in range(maxCycles):
        y = sigmoid(X * W)
        error = Y - y
        W = W + alpha * X.transpose() * error

    return W

Func4: STLogisticClassifierTest ()手写分类器

def STLogisticClassifierTest():
    '''
    Logistic 分类器
    '''
    X, Y = LoadDataSet('iris2condition2class.csv')

    tempStartTime = time.time()
    tempScore = 0
    numInstances = len(Y)
    weights = gradAscent(X, Y)

    tempPredicts = np.zeros((numInstances))

    for i in range(numInstances):
        tempPrediction = X[i] * weights
        if tempPrediction > 0:
            tempPredicts[i] = 1
        else:
            tempPredicts[i] = 0

    tempCorrect = 0
    for i in range(numInstances):
        if tempPredicts[i] == Y[i]:
            tempCorrect += 1

    tempScore = tempCorrect / numInstances
    tempEndTime = time.time()
    tempRunTime = tempEndTime - tempStartTime

    print('STLogistic Score: {}, runtime = {}'.format(tempScore, tempRunTime))

    rowWeights = np.transpose(weights).A[0]
    plotBestFit(rowWeights)

运行结果

GitHub地址

完整代码和数据集见github.

优缺点

优点：
1.适合需要得到一个分类概率的场景。2.计算代价不高，容易理解实现。LR在时间和内存需求上相当高效。它可以应用于分布式数据，并且还有在线算法实现，用较少的资源处理大型数据。3.LR对于数据中小噪声的鲁棒性很好，并且不会受到轻微的多重共线性的特别影响。

缺点：
1.容易欠拟合，分类精度不高。2.数据特征有缺失或者特征空间很大时表现效果并不好。