棋盘覆盖问题——详解（C++）

【问题描述】

在一个 2 ^k × 2 ^k 个方格组成的棋盘中,若有一个方格与其他方格不同,则称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一个特殊棋盘.显然特殊方格在棋盘上出现的位置有4^k 种情形.因而对任何k≥0,有4^k种不同的特殊棋盘.

下图中的特殊棋盘是当k=3时64个特殊棋盘中的一个：

在棋盘覆盖问题中，要用下图中 4 中不同形态的** L 型骨牌覆盖一个给定的特殊棋牌上除特殊方格以外的所有方格，且任何 2 个 L 型骨牌不得重叠覆盖**。易知，在任何一个 2^k × 2^k 的棋盘中，用到的 L 型骨牌个数恰为 (4^k-1)/3 。

用分治策略，可以设计解棋盘问题的一个简捷的算法。

当 k>0 时，将 2^k * 2^k 棋盘分割为 4 个 2^(k-1) * 2^(k-1) 子棋盘，如下图所示：

特殊方格必位于 4 个较小子棋盘之一中，其余 3 个子棋盘中无特殊方格。

为了将这 3 个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，我们可以用一个 L 型骨牌覆盖这 3 个较小的棋盘的汇合处，如下图所示，这 3 个子棋盘上被 L 型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格，从而将原问题化为 4 个较小规模的棋盘覆盖问题。
递归的使用这种分割，直至棋盘简化为 1x1 棋盘。

【算法实现】

下面讨论棋盘覆盖问题中数据结构的设计：

（1）棋盘：可以用一个二维数组board[size][size]表示一个棋盘，其中，size=2^k。为了在递归处理的过程中使用同一个棋盘，将数组board设为全局变量；
（2）子棋盘：整个棋盘用二维数组board[size][size]表示，其中的子棋盘由棋盘左上角的下标tr、tc和棋盘大小s表示；
（3）特殊方格：用board[dr][dc]表示特殊方格，dr和dc是该特殊方格在二维数组board中的下标;
（4） L型骨牌：一个2k×2k的棋盘中有一个特殊方格，所以，用到L型骨牌的个数为(4^k-1)/3，将所有L型骨牌从1开始连续编号，用一个全局变量t表示。

【算法分析】
设T(k)是算法ChessBoard覆盖一个2k×2k棋盘所需时间，从算法的划分策略可知，T(k)满足如下递推式：

T(k) = 1             当k=0时
T(k) = 4 * T(k-1)    当k>0时

解此递推式可得 T(k) = O(4^k)。

C++代码1

#include<iostream>  
using namespace std;  
int tile=1;                   //L型骨牌的编号(递增)  
int board[100][100];  //棋盘  
/***************************************************** 
* 递归方式实现棋盘覆盖算法 
* 输入参数： 
* tr--当前棋盘左上角的行号 
* tc--当前棋盘左上角的列号 
* dr--当前特殊方格所在的行号 
* dc--当前特殊方格所在的列号 
* size：当前棋盘的:2^k 
*****************************************************/  
void chessBoard ( int tr, int tc, int dr, int dc, int size )  
{  
    if ( size==1 )    //棋盘方格大小为1,说明递归到最里层  
        return;  
    int t=tile++;     //每次递增1  
    int s=size/2;    //棋盘中间的行、列号(相等的)  
    //检查特殊方块是否在左上角子棋盘中  
    if ( dr<tr+s && dc<tc+s )              //在  
        chessBoard ( tr, tc, dr, dc, s );  
    else         //不在，将该子棋盘右下角的方块视为特殊方块  
    {  
        board[tr+s-1][tc+s-1]=t;  
        chessBoard ( tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s );  
    }  
    //检查特殊方块是否在右上角子棋盘中  
    if ( dr<tr+s && dc>=tc+s )               //在  
        chessBoard ( tr, tc+s, dr, dc, s );  
    else          //不在，将该子棋盘左下角的方块视为特殊方块  
    {  
        board[tr+s-1][tc+s]=t;  
        chessBoard ( tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s );  
    }  
    //检查特殊方块是否在左下角子棋盘中  
    if ( dr>=tr+s && dc<tc+s )              //在  
        chessBoard ( tr+s, tc, dr, dc, s );  
    else            //不在，将该子棋盘右上角的方块视为特殊方块  
    {  
        board[tr+s][tc+s-1]=t;  
        chessBoard ( tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s );  
    }  
    //检查特殊方块是否在右下角子棋盘中  
    if ( dr>=tr+s && dc>=tc+s )                //在  
        chessBoard ( tr+s, tc+s, dr, dc, s );  
    else         //不在，将该子棋盘左上角的方块视为特殊方块  
    {  
        board[tr+s][tc+s]=t;  
        chessBoard ( tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s );  
    }  
}  
  
void main()  
{  
    int size;  
    cout<<"输入棋盘的size(大小必须是2的n次幂): ";  
    cin>>size;  
    int index_x,index_y;  
    cout<<"输入特殊方格位置的坐标: ";  
    cin>>index_x>>index_y;  
    chessBoard ( 0,0,index_x,index_y,size );  
    for ( int i=0; i<size; i++ )  
    {  
        for ( int j=0; j<size; j++ )  
            cout<<board[i][j]<<"/t";  
        cout<<endl;  
    }  
}  

C++代码2

#include<iostream>  
#include<vector>  
#include<stack>  
   
using namespace std;  
   
vector<vector<int> > board(4);//棋盘数组，也可以作为参数传递进chessBoard中去，作为全局变量可以减少参数传递  
stack<int> stI;   //记录当前所使用的骨牌号码，使用栈顶元素填充棋盘数组  
int sL = 0;     //L型骨牌序号  
   
//所有下标皆为0开始的C C++下标  
void chessBoard(int uRow, int lCol, int specPosR, int specPosC, int rowSize)  
{  
    if(rowSize ==1) return;  
    //static int sL = 0;棋牌和骨牌都可以用static代替，如果不喜欢用全局变量的话。  
    sL++;     
    stI.push(sL); //每递归深入一层，就把一个骨牌序号入栈  
    int halfSize = rowSize/2;//拆分  
   
    //注意：下面四个if else，肯定是只有一个if成立，然后执行if句，而肯定有三个else语句要执行的，因为肯定有一个是特殊位置，而其他三个是空白位置，需要填充骨牌。  
   
    //1如果特殊位置在左上角区域，则继续递归，直到剩下一个格子，并且该格子已经填充，遇到函数头一句if(rowSize == 1) return;就跳出一层递归。  
    //注意是一个区域或子棋盘，有一个或者多个格子，并不是就指一个格子。  
    if(specPosR<uRow+halfSize && specPosC<lCol+halfSize)  
        chessBoard(uRow, lCol, specPosR, specPosC, halfSize);  
    //如果其他情况  
    else 
    {  
        board[uRow+halfSize-1][lCol+halfSize-1] = stI.top();  
        //因为特殊位置不在，所以可以选择任意一个空格填充，但是本算法只填充左上角（也许不止一个格，也许有很多个格子）区域的右下角。大家仔细查一下，就知道下标[uRow+halfSize-1][lCol+halfSize-1]是本区域中最右下角的一个格子的下标号。  
        chessBoard(uRow, lCol, uRow+halfSize-1, lCol+halfSize-1, halfSize);  
        //然后是递归填充这个区域的其他空白格子。因为上一句已经填充了[uRow+halfSize-1][lCol+halfSize-1]这个格子，所以，这个下标作为特殊位置参数传递进chessBoard中。  
    }     
   
    //2右上角区域，解析类上  
    if(specPosR<uRow+halfSize && specPosC>=lCol+halfSize)  
        chessBoard(uRow, lCol+halfSize, specPosR, specPosC, halfSize);  
    else 
    {  
        board[uRow+halfSize-1][lCol+halfSize] = stI.top();  
        chessBoard(uRow, lCol+halfSize, uRow+halfSize-1, lCol+halfSize, halfSize);  
    }         
   
    //3左下角区域，类上  
    if(specPosR>=uRow+halfSize && specPosC<lCol+halfSize)  
        chessBoard(uRow+halfSize, lCol, specPosR, specPosC, halfSize);  
    else 
    {  
        board[uRow+halfSize][lCol+halfSize-1] = stI.top();  
        chessBoard(uRow+halfSize, lCol, uRow+halfSize, lCol+halfSize-1, halfSize);  
    }     
   
    //4右下角区域，类上  
    if(specPosR>=uRow+halfSize && specPosC>=lCol+halfSize)  
        chessBoard(uRow+halfSize, lCol+halfSize, specPosR, specPosC, halfSize);  
    else 
    {  
        board[uRow+halfSize][lCol+halfSize] = stI.top();  
        chessBoard(uRow+halfSize, lCol+halfSize, uRow+halfSize, lCol+halfSize, halfSize);  
    }     
   
    stI.pop();//本次骨牌号填充了三个格，填充完就出栈  
}  
   
void test()  
{  
    //初始化数组  
    for(int i=0; i<4; i++)  
    {  
        board[i].resize(4);  
    }  
   
    chessBoard(0, 0, 3, 3, 4);  
   
    //特殊位置填充0  
    board[3][3] = 0;  
   
    //序列输出  
    for(int j=0; j<4; j++)  
    {  
        for(int i=0; i<4; i++)  
            cout<<board[j][i]<<"\t";  
        cout<<endl;  
    }  
    cout<<endl;  
}  
   
   
int main()  
{  
    test();  
    return 0;  
}  

参考自：zhwhong