Vector Commitments with Efficient Proofs学习笔记

1. 背景知识

Markulf Kohlweiss和Alfredo Rial 2012年文章《Vector Commitments with Efficient Proofs》和相应的ppt《Vector Commitments with Efficient Proofs》
初始motivation为 2010年《Privacy-Preserving Smart Metering》提到的智能计量的隐私保护。在该智能计量场景中，存在：计量meter方 $M$ ，服务提供provider方 $P$ ，政府机构government agency $A$ ，以及用户user $U$ 。

$M$ 测量 $U$ 的消费（如水或电），将测得的值前面后发送给 $U$ 【基本格式为： a consumption value, a consumption time interval and a signature on both the consumption and the time.】。
$P$ 将已签名的收费政策发送给 $U$ 【含：the price per unit of consumption for each time interval.】。
$A$ 将另一份的已签名的收费政策发送给 $U$ 【该收费政策可对每个用户都不一样，签名时包含了特定用户 $U$ 的身份信息】。
在计算费用的时候，用户 $U$ 会从 $A$ 和 $P$ 给的收费政策中选择每个时间段更低的收费标准，从而形成用户 $U$ 专属的收费中间表：
目标：
用户 $U$ 需要证明其缴纳的费用是正确计算的，但是同时要保护其专属的收费中间表不对外公布。该证明过程包含一个OR statement where $U$ proves that, for each interval, the employed rate was signed either by $P$ or by $A$ 。传统的OR argument生成的proof size grows with the number of tariff policies involved。

本文采用vector commitment机制来commit to a vector $(x_1,\cdots,x_n)$ and open it to $x_i(i\in [1,n])$ with cost independent of $n$ 。

$U$ commit to the vector of其专属的收费中间表，并提供相应的证明，如：for each vector component, $U$ proves that it was signed either by $P$ or by $A$ 。
为了证明费用计算的正确性， $U$ 需证明其采用的rate was committed in the correct vector component。

2. 基于accumulator构建的vector commitment

在这里插入图片描述

可参见博客 Vector Commitments and their Applications学习笔记中第2.2节内容“基于RSA的Vector Commitment实现”。

3. 基于SDH assumption的vector commitment

将[kzg10]2010年论文《Polynomial Commitments*》【精简版本为《Constant-Size Commitments to Polynomials and Their Applications*》】中实现的polynomial commitment【基于SDH assumption】扩展为vector commitment。扩展方式为，对于vector $(x_1,\cdots,x_n)$ ，基于Lagrange插值 $\{(1,x_1),\cdots,(n,x_n)\}$ 构建polynomial，对position $i$ 进行polynomial evaluation返回的值即为 $x_i$ 。
对[kzg10]论文polynomial commitment的代码实现可参见博客：

polynomial commitment转vector commitment的详细思路可参见2015年论文《Composable & Modular Anonymous Credentials:Definitions and Practical Constructions》中第三节内容：【博客 vector commitment 中有提及。】
在这里插入图片描述

4. 基于DHE assumption的vector commitment

2010年Benoît Libert和Moti Yung 的论文《Concise Mercurial Vector Commitments and Independent Zero-Knowledge Sets with Short Proofs》中基于DHE assumption构建的vector commitment。

详情参见博客 Concise Mercurial Vector Commitments and Independent Zero-Knowledge Sets with Short Proofs 学习笔记

5. 基于CDH assumption的vector commitment

Catalano和Fiore 2011年论文《Concise vector commitments and their applications to zero-knowledge elementary databases》【又名《Vector Commitments and their Applications》】中提出了基于CDH assumption的vector commitment实现。详情参见博客 Vector Commitments and their Applications学习笔记中第2.1节内容“基于CDH的Vector Commitment实现”。