Vector Commitments代码实现

1. 基本信息

• RSA-based Vector Commitment：当前的主要实现有https://github.com/cambrian/accumulator和https://github.com/dignifiedquire/rust-accumulators
• merkle tree based vector commitment：当前的主要实现有https://github.com/0xProject/OpenZKP/tree/master/crypto/merkle-tree
• pedersen vector commitment：主要实现有https://github.com/mimblewimble/rust-secp256k1-zkp/blob/master/src/pedersen.rs
• cosmos vector commitment：有提案，暂未实现。https://github.com/cosmos/ics/tree/master/spec/ics-023-vector-commitments

accumulator做vector commit的关键点在于：
1）将vector转换位bit vector表示，也就是说vector中只有0，1值。
2）根据vector中的1值创建co-prime vector。co-prime vector的prime元素是通过位置来映射的。如https://github.com/dignifiedquire/rust-accumulators/blob/master/src/vc/binary.rs中的map_i_to_p_i函数，保证了prover和verifier对于指定的位置 $i$，都有唯一的prime $p_i$与之对应。
3）prove时，根据需要open的位置 $i$值为0或者1来确定是做non-membership proof还是做membership proof。

polynomial commitment：
仅用于证明prover知道某个 $n$阶函数 $f_1(X)$，使得其在某点 $x$的返回值确实为 $val$，使得 $val==f_1(x)$成立。但是，并不能证明 $n$阶函数 $f_1(X)$的唯一性，存在另外的函数 $f_2(X)$，使得 $val==f_2(x)$亦成立。除非用 $n$个不同的 $x$值去challenge prover，否则根本无法唯一确定prover所知道的函数。
怎么将polynomial commitment用于vector commiment呢？可以open指定的系数，同时不需要通过 $n$个challenge来唯一确定？？？？

2. 原理&性能

2.1 https://github.com/dignifiedquire/rust-accumulators原理&性能

主要基于2018年论文《Batching Techniques for Accumulators with Applications to IOPs and Stateless Blockchains》——是基于strong RSA assumption in groups of unknown order来实现的，其基本原理为：
针对bit vector $\vec{m}=\{m_1,m_2,...,m_n\}，m_i\in\{0,1\}$，构建一个相应的co-prime【co-prime这个属性很好，可以保证某个数值不可能在两个以上的位置存在，否则与co-prime矛盾。】 vector $\vec{p}=\{p_1,p_2,...,p_l\}$， $m_i=0$的个数为 $n-l$。若 $m_i=1$，则提供an inclusion proof of $p_i$；若 $m_i=0$，则提供an exclusion proof of $p_i$。引申到更通用的情况是，任意的vector，其元素可由 $\lambda-bits$组成，相应的open可引申为 $\lambda$个位置的batch opening。

cargo bench性能如下：

2.2 https://github.com/cambrian/accumulator原理&性能

主要也是基于2018年论文《Batching Techniques for Accumulators with Applications to IOPs and Stateless Blockchains》和2007年论文《Universal Accumulators with Efficient Nonmembership Proofs》来实现的。
其代码实现性能由于2.1，但是没有充分利用多核CPU的能力，计算压力仍然集中在单个CPU上：

2.3 https://github.com/cosmos/ics/tree/master/spec/ics-023-vector-commitments

cosmos将vector commitment中划分了三个角色：
1）manager：负责从commitment中添加或删除元素；
2）prover：负责生成membership proof或non membership proof；
3）verifier：验证proof。
这其中提到了2017年论文《Accumulators with Applications to Anonymity-Preserving Revocation》中，提出借助密码学累加器来实现匿名撤销算法。在累加器中添加白名单信息，通过membership proof和 nonmembership proof来证明
同时支持元素添加和删除的累加器叫做动态累加器。常用的动态累加器有：

• 基于Merkle hash trees。
• 基于RSA。
• 基于bilinear maps。
  
  
  并对多种累加器的进行了对比。
  

参考资料：
[1] 2013年论文《Vector Commitments and their Applications》
[2] 2017年论文《Accumulators with Applications to Anonymity-Preserving Revocation》
[3] 2018年论文《Batching Techniques for Accumulators with Applications to IOPs and Stateless Blockchains》
[4] https://github.com/cosmos/ics/tree/master/spec/ics-023-vector-commitments
[5] https://github.com/filecoin-project/devgrants/blob/master/rfps/rfp-rsa-vector-commitments.md
[6] Confidential Transactions from Basic Principles
[7] https://github.com/filecoin-project/specs/blob/121-sector-id-as-input-to-commit-sector/notes/porep-with-vc.md
[8] https://github.com/cryptoeconomicslab/plasma-chamber/issues/164
[9] https://github.com/filecoin-project/research/issues/131
[10] https://github.com/filecoin-project/research/issues/108
[11] 博客Class Groups for Cryptographic Accumulators