阵列信号基础之4：PM 算法

阵列信号基础之4：PM 算法

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模型

PM 算法，就是传播算子（Propagator method, PM）算法。和其他子空间算法不同，它不需要 SVD 过程就可以快速获得噪声子空间。

假设有 $K$ 个来自不同方向的信号 $s_1(t),\cdots,s_K(t)$，对应着角度 $\theta_1,\cdots,\theta_K$。从而对于 $M$ 元均匀线阵的接收信号，表示如下：
$\mathbf x(t) = \mathbf A(\theta) \mathbf s(t)+\mathbf n(t)$
其中
$\begin{aligned} \mathbf s(t) &= [s_1(t),\cdots,s_K(t)]^T \\ \mathbf n(t) &= [n_1(t),\cdots,n_M(t)]^T \\ \mathbf x(t) &= [x_1(t),\cdots,x_M(t)]^T \\ \mathbf A(\boldsymbol \theta) &= [\mathbf a (\theta_1),\cdots,\mathbf a(\theta_K)] \\ \mathbf a(\theta_k) &=[1,\exp(j\psi_k)\cdots,\exp(j(M-1)\psi_k) ]^T \\ \psi_k &= \frac{2\pi d \sin\theta_k}{\lambda} \end{aligned}$

具体细节参考 ULA 。

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概念原理

将矩阵 $\mathbf A \in \mathbb C^{M \times K}$ 分块：
$\begin{aligned} \mathbf A &= \begin{bmatrix} \mathbf A_1 \\ \hline \mathbf A_2 \end{bmatrix}\\ \\ \mathbf A_1 &\in \mathbb C^{K \times K} \\ \mathbf A_2 &\in \mathbb C^{(M-K) \times K} \end{aligned}$

在此基础上，假设 $\mathbf A_1$ 是非奇异矩阵，即 $\mathbf A_1$ 的 $K$ 行相互独立，则 $\mathbf A_2$ 是 $\mathbf A_1$ 的线性变换，有关系
$\textcolor{blue}{\boxed{\mathbf A_2 = \mathbf P^H \mathbf A_1}}$
上面公式中的 $\mathbf P \in \mathbb C^{K \times (M-K)}$ 就是本文的主角——传播算子。

再令
$\mathbf Q^H = \left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} \mathbf P^H \end{matrix}& \begin{matrix} -\mathbf I_{M-K} \end{matrix} \end{array} \right ]$

我们可以发现
$\begin{aligned}\mathbf Q^H \mathbf A &= \left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} \mathbf P^H \end{matrix}& \begin{matrix} -\mathbf I_{M-K} \end{matrix} \end{array} \right ] \begin{bmatrix} \mathbf A_1 \\ \hline \mathbf A_2 \end{bmatrix} \\ &= \mathbf P^H \mathbf A_1- \mathbf A_2 \\ &=0 \end{aligned}$
此式表明， $\mathbf Q$ 的列向量和 $\mathbf A$ 的子空间是正交的。联系 MUSIC 算法，本质上 $\mathbf Q$ 就相当于噪声子空间。

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算法步骤

接下来，就是问题来了： $\mathbf Q$ 怎么求？

由于 $\mathbf Q$ 和信号的方向有关，可通过接收信号多快拍构造的矩阵以及空间协方差矩阵分块

$\begin{aligned} \mathbf X &= [\mathbf x(1),\mathbf x(2),\cdots,\mathbf x(N)] = \begin{bmatrix} \mathbf X_1 \\ \hline \mathbf X_2 \end{bmatrix} \in \mathbb C^{M \times N} \\ \\ \mathbf X_1 &\in \mathbb C^{K \times N} \\ \mathbf X_2 &\in \mathbb C^{(M-K) \times N} \end{aligned}$

以及

$\begin{aligned} \mathbf R &= \mathbb{E}(\mathbf x(t)\mathbf x^H(t)) =\begin{bmatrix} \mathbf G & \mathbf H \end{bmatrix} \in \mathbb C^{M \times M} \\ \\ \mathbf G &\in \mathbb C^{M \times K} \\ \mathbf H &\in \mathbb C^{M \times (M-K)} \end{aligned}$

注意，在这里还有一层关系，不考虑噪声的时候，有

$\begin{aligned} \mathbf X &= [\mathbf x(1),\mathbf x(2),\cdots,\mathbf x(N)] =\begin{bmatrix} \mathbf X_1 \\ \hline \mathbf X_2 \end{bmatrix} \\ &= \mathbf A [\mathbf s(1),\mathbf s(2),\cdots,\mathbf s(N)] \\ &= \mathbf A \mathbf S \\ &=\begin{bmatrix} \mathbf A_1 \\ \hline \mathbf A_2 \end{bmatrix} \mathbf S =\begin{bmatrix} \mathbf X_1 \\ \hline \mathbf X_2 \end{bmatrix} \\ \mathbf A_1 \mathbf S &= \mathbf X_1 \\ \mathbf A_2 \mathbf S &= \mathbf X_2 \\ \end{aligned}$

所以，
$\mathbf A_2 \mathbf S = \mathbf P^H \mathbf A_1 \mathbf S \Longrightarrow \boxed{ \mathbf X_2 = \mathbf P^H \mathbf X_1}$

还有这层关系，

$\begin{aligned} \mathbf R &= \mathbb{E}(\mathbf x(t)\mathbf x^H(t)) = \mathbb{E}(\mathbf A \mathbf s(t)\mathbf s^H(t) \mathbf A^H) \\ &=\mathbf A \mathbf R_{\text{ss}} \mathbf A^H = \mathbf A \mathbf R_{\text{ss}} \left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} \mathbf A_1^H \end{matrix}& \begin{matrix} \mathbf A_2^H \end{matrix} \end{array} \right] \\ &=\begin{bmatrix} \mathbf G & \mathbf H \end{bmatrix} \\ \\ \mathbf G &= \mathbf A \mathbf R_{\text{ss}} \mathbf A_1^H \\ \\ \mathbf H &= \mathbf A \mathbf R_{\text{ss}} \mathbf A_2^H = \mathbf A \mathbf R_{\text{ss}} \mathbf A_1^H \mathbf P \Longrightarrow \boxed{\mathbf H= \mathbf G \mathbf P} \end{aligned}$

但实际系统噪声是不可忽略的，所以最终传播算子 $\mathbf P$ 可以通过最小化
$\begin{aligned} J_x(\mathbf P)&= \Vert \mathbf X_2 - \mathbf P^H \mathbf X_1 \Vert_F^2\\ J_R(\mathbf P)&= \Vert \mathbf H - \mathbf G \mathbf P \Vert_F^2 \end{aligned}$

因此，根据最小二乘法，解为
$\begin{aligned} \hat{\mathbf P}^H &= \mathbf X_2 (\mathbf X_1^H \mathbf X_1)^{-1} \mathbf X_1^H \\ \hat{\mathbf P} &= (\mathbf G^H \mathbf G)^{-1} \mathbf G^H \mathbf H \end{aligned}$

所以我们就得到了
$\hat{\mathbf Q}^H = \left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} \hat{\mathbf P}^H \end{matrix}& \begin{matrix} -\mathbf I_{M-K} \end{matrix} \end{array} \right ]$

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估计算法

最大谱搜索

第一种就是谱估计，空间搜索。和 MUSIC 算法 一样。
$\max F(\theta) =\max \frac{1}{ \mathbf a^H (\theta) \hat{\mathbf Q}^H \hat{\mathbf Q} \mathbf a (\theta)}$

代码

%PM算法 MATLAB CODE
clc;
close all;
clear;

M = 10;                   %x轴阵元数
K = 2;                    %信号数
d_lamda = 1/2;            %阵元间距
theta = [-30, 20];        %x轴方位角

L = 100;                  %快拍数
snr = 5;                  %信噪比

S = sqrt(10.^(snr/10))*(randn(K,L)+1j*randn(K,L));    %生成信号向量

A = exp(-1j*(0:M-1)'*d_lamda*2*pi*sin(theta/180*pi)); %生成导向矢量
A1 = A(1:K,:);
A2 = A(K+1:M,:);

X = A*S+(1/sqrt(2))*(randn(M,L)+1j*randn(M,L));       %生成接收矢量
X1 = X(1:K,:);
X2 = X(K+1:M,:);

R = X*X'/L;    %协方差矩阵
G = R(:, 1:K);
H = R(:, K+1:M);

%P_H = X2*pinv(X1'*X1)*X1';     %传播算子P^H
P = pinv(G'*G)*G'*H;            %传播算子P

%Q_H = [P_H,-eye(M-K)];         %构造噪声子空间
Q = [P;-eye(M-K)];              %构造噪声子空间
%Rq = Q_H*Q_H';
Rq = Q*Q';

searching_doa=-90:0.1:90;    %搜索范围为-90~90度

for i=1:length(searching_doa)
    a_theta=exp(-1j*(0:M-1)'*2*pi*d_lamda*sin(pi*searching_doa(i)/180));
    Pmusic(i)=1./abs((a_theta)'*Rq*a_theta);
end

plot(searching_doa,10*log(Pmusic),'r');
title('Propagator Method');
grid on;
xlim([-90, 90]);
xlabel('angle (degree)');
ylabel('magnitude (dB)');
set(gca,'xtick',[-90:20:90]);

求根思想

第二种方法类似于ROOT-MUSIC算法，无需搜索，直接求根。

a = zeros(2*M-1,1)';                     %找出多项式的系数，并按阶数从高至低排列

for i=-(M-1):(M-1)
    a(i+M) = sum(diag(Rq,i));
end

a1=roots(a);                             %使用ROOTS函数求出多项式的根                            
a2=a1(abs(a1)<1);                        %找出在单位圆里且最接近单位圆的N个根
[lamda,I]=sort(abs(abs(a2)-1));          %挑选出最接近单位圆的N个根
f=a2(I(1:K));                            %计算信号到达方向角
source_doa=[asin(angle(f(1))/pi)*180/pi,asin(angle(f(2))/pi)*180/pi];
source_doa=sort(source_doa);
disp('source_doa');
disp(source_doa);