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宽带信号阵列
0. 前言
阵列信号处理基础本质上属于参数估计问题,和信道估计知识基本上别无二致。末学在这里整理了阵列信号处理的基础知识,包括公式推导,以及代码。一方面为了节省同行人士寻找资料和整理吸收的时间,开方便之门。另一方面为了和大家多多交流这方面的知识,寻找研究灵感。
如果有任何问题或者有相关的 MATLAB 代码,本着交流的态度请分享到我的邮箱:[email protected]。
愿以此功德,庄严佛净土。上报四重恩,下济三途苦。
若有见闻者,悉发菩提心。尽此一报身,同生极乐国。
南无大智文殊菩萨。
4. 宽带信号阵列模型
因为窄带信号的时延信息可以通过相位的变化来体现,而宽带信号则不满足这一假设,所以上面提到的MUSIC/ESPRIT 等算法不适用于宽带信号。现在比较经典的宽带 DOA 估计算法是 ISS 算法和 CSS 算法。
在有
M
个天线单元的均匀线阵中,第
m
个阵元接收到的信号可以写为
xm(t)=∑i=1Ksi(t−τm(θi))+nm(t),m=1,2⋯,M
其中,
si(t)
为第
i
个信源,
τm(θi)
为其相对于参考点的时延,
θi
为其入射角度,
K
为信源数目,
nm(t)
为高斯白噪声。
因为宽带信号的时延无法用相移来表示,所以需要转换到频域上,表示为
Xm(f)=∑i=1KSi(f)e−j2πfτm(θi)+Nm(f)
其中
Si(f)
和
Nm(f)
分别为
si(t)
和
nm(t)
傅里叶变换。我们可以将阵列接收信号的频域模型写成矩阵的形式,令
e−j2πfτm(θi)=am(f,θi)
,可得
X(f)=A(f,θ)S(f)+N(f)
其中有
A(f)a(f,θi)=[a(f,θ1),a(f,θ2),⋯,a(f,θK)]=[a1(f,θi),a2(f,θi),⋯,aM(f,θi)]T
4.1 非相干信号子空间算法
ISM 算法的核心思想是把一个宽带信号通过 FFT 在频域分解成若干个窄带分量,然后在每一个子带上直接应用窄带 DOA 估计技术进行处理,最后对这若干个结果进行综合,比如所有子带的空间谱进行平均,即可得到最终的 DOA 信息。
根据这个思想,首先把观测时间
T0
内的接收信号分成
L
段,
L
也称为频域快拍。再对每段作 DFT 分解为
N
个窄带分量,即得到
L
组互不相关的窄带频域分量,因此可得接收信号频域自相关矩阵的估计值
Rx(fn)=1L∑l=1LXl(fn)XHl(fn),1≤n≤N
其中
Xl(fn)=A(fn,θ)S(fn)+N(fn)∈CM×1
。对其进行特征值分解,可以得到
Rx(fn)=UΛUH=∑i=1MλiuiuHi
特征值的大小满足关系
λ1⩾λ2⩾⋯⩾λK>λK+1=⋯=λM=σ2
。 于是,我们可以构造出两个矩阵,
US
称为信号子空间,
UN
称为噪声子空间。根据 MUSIC 算法,那么平均谱函数为
P(θ)=11N∑Nn=1∥aH(fn,θ)UN(fn)∥2
4.2 相干信号子空间算法
因为宽带信号的分解得到的子空间与频率有关,使得不同频点上的子空间会不一样,所以 CSM 算法就是要构造一个聚焦矩阵,通过它把不同频点的子空间变换到相同的频点上。同样我们首先需要对阵列接收信号进行
N
点 FFT 分解成
N
个窄带分量,那么聚焦矩阵
T(fn)
需要满足
T(fn)A(fn)=A(f0),n=1,2,⋯,N
其中,
f0
为参考频点。于是经过聚焦变换后的阵列接收信号为
Y(fn)=T(fn)X(fn)=T(fn)A(fn)S(fn)+T(fn)N(fn)=A(f0)S(fn)+T(fn)N(fn)
可知,经过变换后的
Y(fn)
在任何频点上都有着相同的方向矩阵。于是,我们可以计算出
Y(fn)
的自相关矩阵:
Ry=1N∑n=1NY(fn)YH(fn)=1N∑n=1NT(fn)X(fn)XH(fn)TH(fn)=1N∑n=1NA(f0)S(fn)SH(fn)AH(f0)+1N∑n=1NT(fn)N(fn)NH(fn)TH(fn)=A(f0)[1N∑n=1NS(fn)SH(fn)]AH(f0)+1N[∑n=1NT(fn)N(fn)NH(fn)TH(fn)]=A(f0)[1NRS]AH(f0)+1N[RN]
同样地,我们对构造的矩阵束
{Ry,RN}
进行广义特征值分解,从而构造出信号子空间
US
以及噪声子空间
UN
。此时可得谱函数
P(θ)=1∥aH(f0,θ)UN∥2
接下来给出一种聚焦矩阵的构造方法。首先对所有信源的 DOA 进行预估计,计算出它们的平均值
θ^
,那么聚焦矩阵为
T=⎛⎝⎜⎜⎜a1(f0,θ^)/a1(fn,θ^)⋱aM(f0,θ^)/aM(fn,θ^)⎞⎠⎟⎟⎟
参考文献