哈夫曼树（数据结构）
前言
哈夫曼树是二叉树的应用
一.几个术语定义
1.路径
由一结点到另一结点间的分支所构成。
（如1到4的路径为1到3,3到4这两个分支构成）
2.路径长度
路径上的分支数目。
（如1到6的路径长度为3, 即1到3，3到5,5到6）
3.树的外部路径长度（EPL）
各叶结点（外结点）到根结点的路径长度之和。
（如这棵树的叶子结点为2、4、8、7，2的路径长度为1,4的路径长度是2,8的路径长度为4,7的路径长度是3，所以树的外部路径长度为1+2+4+3=10）
4.树的内部路径长度（ IPL ）
各非叶结点（内结点）到根结点的路径长度之和。
5.树的路径长度（PL）
PL= EPL+ IPL
IPL = 0+1+2+3 = 6
EPL = 1+2+3+4 = 10
PL = 16
6.权值
为树的叶结点赋予一个权值，一般用于表示出现频度、概率值等。
（就是用于表示叶结点的那个圆圈里的树）
7.扩充二叉树
只有度为 2 的内结点和度为 0的外结点。
（没有度为1的结点的二叉树叫做扩充二叉树）
8.结点的带权路径长度
结点到根的路径长度与结点上权的乘积 （wi*li）。
（结点的带权路径长度就是该结点权值与该结点的路径长度的乘积
如5那个结点的带权路经长度为 5*3=15）
9.树的带权路径长度（WPL）
（我们一般关注的是树的带权路径长度）
树中所有叶子结点的带权路径长度之和。
二.哈夫曼树的定义
对于具有不同带权路径长度的扩充二叉树：
（具有相同权值的叶子结点，它组成了不同的二叉树，那么这四个结点形成的二叉树它的带权路径长度是不同的）
• 对于同样一组权值，放在外结点上，组织方式不同，带权路径长度也不同；
• 带权路径长度最小的扩充二叉树叫做哈夫曼树；
• 哈夫曼树中权值大的结点离根最近。
（权值最大的叶子结点越靠近根结点，权值最小的叶子结点越远离根结点）
三.哈夫曼树的构造
1.基本思想
使权大的结点靠近根
2.构造过程
例：
（1）以5个叶子结点为例，我们把这个五个权值的结点作为叶子，构成了一棵有五棵树的森林。
（2）首先我们从这五棵树的森林的集合中选取权值最小的两棵树，对它进行合并，2、4合并得到了6这个内结点，接下来把2，4删掉，把6加入进这个集合，此时，这个森林中就包括4棵树7、5、9、6。
（3）接下来，重复，从新的集合中找的最小的两棵树，一个是5，一个是6，在进行合并得到11，再把5、6从集合中删除，把11加入，这个森林就包括7，9，11三棵树。
（4）重复，仍然合并两个最小的7、9得到16，把7、9删除，插入16，这个森林包含两棵树11、16。
（5）同样，把11和16合并得到27，把11和16删除，再加入合并后的27，此时这个森林中只剩下一棵树，这棵树是一棵二叉树，我们把这可树叫做哈夫曼树。
总结：
操作要点：对权值的合并、删除与替换，总是合并当前值最小的两个。
3.构造算法
前提：
性质：一棵有n个叶子结点的Huffman树有 2*n-1 个结点（2*n-1包括叶子结点和内结点）
存储定义：
① 采用顺序存储结构（一维数组）
② 结点类型定义
typedef struct //用顺序存储结构（一维数组）来描述结点的定义
{
int weght; //权值
int parent,lch,rch; //指向父结点，还有左孩子、右孩子标识的地址
}*HuffmanTree;
例：
设n=4, w={70,50,20,40}，m=2*4-1=7
①进行存储四个叶子结点，并且把双亲左孩子右孩子的初始化都是零
②从中选出两个最小的合并，删除，插入重读操作，改变各结点双亲、左孩子、右孩子的值。
③
代码描述：
（把创建哈夫曼树的过程封装为函数）
typedef struct //用顺序存储结构（一维数组）来描述结点的定义
{
int weght; //权值
int parent,lch,rch; //指向父节点，还有左孩子、右孩子标识的地址
}*HuffmanTree;
void CreatHuffmanTree (HuffmanTree HT,int n)
{
if(n<=1) return; //叶子小于等于1，不合适，不是哈夫曼树
m=2*n-1; //先算出m，m表示总的结点个数
HT=new HTNode[m+1]; //然后动态分配了m+1个结点
//为什么创建m+1个呢？因为0号单元未用，HT[m]表示根结点，从1到m表示这m个结点
for(i=1;i<=m;++i) //对m个结点，对它的每一个左孩子右孩子双亲都初始化为0
{
HT[i].lch=0;
HT[i].rch=0;
HT[i].parent=0;
}
for(i=1;i<=n;++i) //输入所有叶子结点的权值
cin>>HT[i].weight;
for( i=n+1;i<=m;++i) //构造 Huffman树：每次选两个最小的，然后把它们的双亲、左孩子、右孩子改一下
{
Select(HT,i-1, s1, s2);
//每次（在这棵树的叶子结点中）在HT[k](1≤k≤i-1)中选择两个其双亲域为0,
// 并且权值最小的结点,
// 并返回它们在HT（数组）中的序号s1和s2
HT[s1].parent=i; HT[s2] .parent=i;
//表示从F中删除s1,s2 （改s1的双亲，改s2的双亲）
HT[i].lch=s1; HT[i].rch=s2 ;
//s1,s2分别作为i的左右孩子 （改新创建的第i个的左孩子、右孩子）
HT[i].weight=HT[s1].weight + HT[s2] .weight;
//i 的权值为左右孩子权值之和 （它的权值是s1的权值加上s2的权值的和）
}
}
四.哈夫曼编码
1.主要用途
实现数据压缩
例：给出一段报文（报文就是在网络上传输的一些数据），报文中只包含字符集合 { C, A, S, T,H }，各个字符出现的频度（次数）是 W＝{ 2, 7, 4, 5,9 }（也就是权值）。
✓若给每个字符以等长编码（3位二进制）
（因为一共有5个字符，五个字符用二进制编码肯定是要用三位才能编码的，因为2的3次方是8，5是小于8的但5也是大于4的）
✓ C : 000 A : 001 S : 010 T : 011 H：100
✓则发送这27（因为5个字符一共出现了27次）个字符时，总编码长度为 ( 2+7+4+5+9 ) * 3 = 81。
✓能否减少总编码长度，使得发出同样报文，可以用最少的二进制代码？
↓↓↓（我们考虑用哈夫曼树）
2.设计哈夫曼编码
例：字符集合 { C, A, S, T,H }，出现的频度（次数）是 W＝{ 2, 7, 4, 5,9 }。
（1）基本思想：
概率大的字符用短码，概率小的用长码，构造哈夫曼树，写出哈夫曼编码。
（2）构造Huffman树
①字符出现的概率{ 2/27, 7/27, 4/27, 5/27,9/27 },化整为 { 2, 7, 4, 5,9 }作为叶结点上的权值, 建立Huffman树。
② 建好以后，左分支赋 0，右分支赋 1，得Huffman编码(变长编码)。
③写出哈夫曼编码
（概率就是权值）
✓总编码长度(7+5+9)*2+( 2+4 )*3 = 60
✓比等长编码的情形（81）要短。
（所以就实现了数据的压缩）
（3）注意：
Huffman编码是一种前缀编码
即：任一个二进制编码不是其它二进制编码的前缀。解码时不会混淆。
3.哈夫曼编码小结
（1）哈夫曼编码是不等长编码。
（2）哈夫曼编码是前缀编码，即任一字符的编码都不是另一字符编码的前缀。
（3）哈夫曼编码树中没有度为1的结点。若叶子结点的个数为n，则哈夫曼编码树的结点总数为 2n-1。
（4）发送过程：根据由哈夫曼树得到的编码表送出字符数据。
（5）接收过程：按左0、右1的规定，从根结点走到一个叶结点，完成一个字符的译码。反复此过程，直到接收数据结束。
后续
