动态规划

动态规划思想：将原问题拆解成若干子问题，同时保存子问题的答案，使得每个子问题只求解一次，最终获得原问题的答案。

求解思路

在这里插入图片描述

大多数动态规划问题都是一个递归问题；
在递归的过程中会发现很多重叠子问题(出现重复计算子问题的情况)；
可以使用记忆化搜索的方式来解决问题；
通常解决动态规划问题时，先自顶向下的思考问题，最后再通过自底向上的动态规划解决问题。

在动态规划中都是通过这种思路来解决问题的。

下面以求解斐波那契数列来说明上面的过程。

斐波那契数列

$F(0)=1,F(1)=1,F(n) = F(n-1) +F(n-2)$

递归问题

这个式子可以很容易的写成递归形式。

def fib(n):
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    return fib(n-1) + fib(n-2)

递归形式的思路虽然简单，但是这段代码的耗时是指数增长的。
在这里插入图片描述
在jupyter上求fib(30)就耗时256毫秒。

重叠子问题

下面我们来看下为什么计算这么慢。

在这里插入图片描述

如果我们想要计算fib(5)，那么根据定义，我们要计算fib(4)和fib(3)。

在这里插入图片描述
如果要计算4，那么就要计算3和2。以此类推，我们可以画出整个计算斐波那契数列的递归树。

在这个递归树种，每个叶子节点都到了1或0的终止条件。这里每个节点都是一次计算。

从上图可以发现，我们进行了多次的重复计算。

在这里插入图片描述
拿求解fib(2)来说，我们计算了3次。

记忆化搜索-自顶向下的解决问题

对于这些重复计算，是否可以只计算一次呢。很简单的思路是用一个数据结构将之前的计算结果保存起来。

memo = {}  #保存计算结果

def fib(n):
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    if n not in memo: # 如果没有计算过再去计算
        memo[n] =  fib(n-1) + fib(n-2)
    return memo[n]

这种方式就是记忆化搜索。我们使用了递归搜索的方式，但是使用了memo进行记忆。
在这里插入图片描述
现在计算起来就非常快了。

在这里插入图片描述
fib(1000)也可以计算了。

记忆化搜索的实质是在递归的基础上加上记忆化的过程。
递归是一种自顶向下的解决问题。也就是说，我们没有从最基本的问题开始解决，而是假设最基本的问题已经解决了。我们已经会求fib(n-1)和fib(n-2)了，那么求fib(n)就是把它们加起来就好了。

通常如果我们能自顶向下的解决问题的话，我们也能自底向上的解决问题。

动态规划-自底向上的解决问题

memo = {} 

def fib(n):
    memo = {0:0,1:1} #memo中存的就是第i个斐波那契数列
    for i in range(2,n+1):
        memo[i] = memo[i-1] + memo[i-2]
    return memo[n]