算法——如何快速判断素数？

前言

最近闲来无事，刷刷题，碰到这样一个题目：

需求：要求实现一个判断素数的简单函数
相关信息：素数就是只能被1和自身整除的正整数。注意：1不是素数，2是素数。
输入：任意整数
输出：1——素数;0——非素数.

第一反应是将大于等于2的输入整数循环除以每个小于自身且大于1的整数，若余数为0，则为非素数。
再一想，这样做速度实在太慢，时间复杂度为 $o(n)$。故在网上水了一波，看看到底有没有更快速的算法。

解决方案

方案1

方案1，就是上述方法，代码如下：

int prime(int p)
{
	if(p<=1)
	{
		return 0;
	}
	for(int i=2;i<p;i++)
	{
		if(p%i==0)
		{
			return 0;
		}
	}
	return 1;
} 

方案2

方案2是方案1的改进方案，该方案基于以下客观事实：一个数若可以进行因数分解，那么分解时得到的两个数一定是一个小于等于sqrt(n)，一个大于等于sqrt(n)，据此，上述代码中并不需要遍历到n-1，遍历到sqrt(n)即可，因为若sqrt(n)左侧找不到约数，那么右侧也一定找不到约数。

int prime(int p)
{	
	if(p<=1)
	{
		return 0;
	}
	for(int i=2;i<int(sqrt(p))+1;i++)
	{
		if(p%i==0)
		{
			return 0;
		}	
	}
	return 1;
}

上述算法时间复杂度为 $o(sqrt(n))$.

方案3（最优算法)

和方案2一样，首先素数有这样一个规律：大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7，11和13等。
证明过程如下：
$令x>=1;则大于等于5的自然数表示如下：\\ ...,6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,... \\ 可以看到，不在6的倍数两侧的数：6x,2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2)都不是素数。\\ 可能为素数的就只有：6x-1和6x+1;$
因此，我们将所有输入的大于等于5的数据以上述方式表示，将其除以6，若余数不为1，或者5，则直接证明其不是素数，剩下的进行判断：

int prime(int p)
{
	if (p == 2 || p == 3)
	{ 
		return 1; 
	}
	if (p % 6 != 1 && p % 6 != 5)
	{ 
		return 0; 
	}
	for (int i = 5; i <= floor(sqrt(p)); i += 6)
	{
		if (p%i == 0 || p % (i + 2) == 0)
		{ 
			return 0;
		}
	}
	return 1;
}

总结

算法3能极大降低运算量，提升运算速度。小小的问题，大大的智慧啊，感谢大神们，虽然我不知道是谁。