素数判断算法（python实现）

素数是只能被1与自身整除的数，根据定义，我们可以实现第一种算法。

算法一：

def isprime(n):
    if n < 2: return False
    for i in range(2,int(math.sqrt(n))+1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

任意一个合数都可分解为素数因子的乘积，观察素数的分布可以发现：除 2,3 以外的素数必定分布在 6k (k为大于1的整数) 的两侧。6k % 6 == 0, (6k+2) % 2== 0,(6k+3) %3==0,(6k+4)%2==0,

所以2,3外的素数形式只能写成  6k+1 或 6k-1的形式。据此，我们可以缩小因子范围。

算法二：

def isprime(n):
	if n == 2 or n == 3:
		return True
	if n % 2 == 0 or n % 3 == 0:
		return False
	
	for k in range(6,int(math.sqrt(n)) + 2, 6):
		if n % (k-1) == 0 or n % (k+1) == 0:
			return False
	return True

　　

建立一个大小为n的数组，初始值置为真。从2开始设置步长(length)直至n的平方根，将length*i (i > 1) 的值置为False。这就是埃拉托斯特尼筛法的基本思想。适用于筛选小于n的所有素数，算法如下：

算法三：

def isprime(n):
    r = [[i,True] for i in range(1,n+1)]
    r[0] = [1,False]
    for i in range(1,int(math.sqrt(n))):
        j = i * 2 + 1
        while j < len(r):
            r[j] = [j+1,False]
            j += i + 1
    return r

费马小定理: a^p-1 = 1 (mod p) ,其中gcd(p,a) = 1 且 p 为素数

p为素数时等式一定成立，但使等式成立的p不一定都是素数，但非素数p数量极少，称之为伪素数。

任意大素数n可写成 n = u * 2^t  + 1, 其中 t 为 大于1 的整数，u为奇数。a ^{n - 1} = (a^u)^{2^t}, 求出a^u 后，连续t次平方即可求得。

算法四：

def isprime_fourth(n):
    if n == 2: return True
    if n % 2 == 0: return False
    # 若n为大于2的素数,形式可写成 n=u*(2^t) + 1, t >= 1 and u % 2 == 1
    t = 0
    u = n - 1
    while u % 2 == 0:
        t += 1
        u //= 2
    
    # 随机选择底数，若n为素数，gcd(a,n)==1
    a = random.randint(2,n-1)
    # 若n为素数，则a^(n-1) % n == 1；先计算 a^u % n，再连续t次平方可得
    r = pow(a,u,n)
    if r != 1:
        while t > 1 and r != n-1:
            r = (r*r) % n
            t -= 1
        if r != n - 1:
            return False
    return True