互功率谱

类似从自相关函数推出互相关函数，也可以从单个随机过程的功率谱推出互功率谱。两个随机过程X(t)和Y(t)，它们的互功率谱定义是
$G_{XY}(\omega)=E[\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}X_T(\omega)Y_T^*(\omega)]$
$X_T(\omega)=\int_{-T}^TX(t)e^{-j\omega t}dt$
$Y_T(\omega)=\int_{-T}^TY(t)e^{-j\omega t}dt$
如果X(t)和Y(t)是联合平稳的，则 $R_{XY}(\tau)$ 绝对可积。则它们的互功率谱和互相关函数是一对傅里叶变换对：
$G_{XY}(\omega)=\int_{-\infty}^{infty}R_{XY}(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$
$R_{XY}(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}G_{XY}(\omega)e^{j\omega \tau}d\omega$
互功率谱的性质：
$G_{XY}(\omega)=G_{YX}^*(\omega)$
$|G_{XY}(\omega)|^2\le G_X(\omega)G_Y(\omega)$

非平稳过程的功率谱

广义功率谱密度

设非平稳随机过程X(t)的自相关函数R_X（t₁,t₂)是两个时间点的函数，则 $R_X(t_1,t_2)$ 的二维傅里叶变换
$G_X(\omega_1,\omega_2)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}R_X(t_1,t_2)e^{-j(\omega_2t_1-\omega_2t_2)}dt_1dt_2$
为X(t)的广义功率谱密度，逆变换为
$R_X(t_1,t_2)=\frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}G_X(\omega_1,\omega_2)e^{j(\omega_1t_1-\omega_2t_2)}d\omega_1d\omega_2$
广义谱的定义在数学上与平稳随机过程是相通的。假设 $G_X(\omega_1,\omega_2)$ 仅在两者相等处有值，两者不等时的结果是0，则
$G_X(\omega_1,\omega_2)=G_X(\omega_1)\delta (\omega_1-\omega_2)$ 这就是平稳情况下的功率谱。

时变功率谱

假设t₁=t,t₂=t+τ，则非平稳过程的自相关函数
$R_X(t+\tau,t)=R_X(t,\tau)=E[X(t+\tau)X(t)]$
是t和 $\tau$ 的函数，时变谱定义成
$G_X(t,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}R_X(t,\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$
如果采用对称相关函数
$R_X(t,\tau)=E[X(t+\tau/2)X(t-\tau/2)]$
则这种时变谱称为维格纳-威利谱（WV谱）其中， $G_X(t,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}R_X(t,\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$ 还可以写成
$G_X(t,\omega)=E[W_X(t,\omega)]$
其中
$W_X(t,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}[X(t+\tau/2)X(t-\tau/2)]e^{-j\omega \tau}d\tau$
$W_X(t,\omega)$ 称为维格纳分布，非平稳随机过程X(t)的WV时变谱是该过程维格纳分布的数学期望。

例子

设噪声调制的振荡信号
$X(t)=N(t)cos\omega_0t$ 其中N(t)是平稳噪声，求X(t)的功率谱。
观察这个信号，发现不同时刻的信号（可能的）均值受到了三角函数的调制。X(t)是非平稳随机过程。求功率谱的方法一般就是求相关函数的傅里叶变换，而对于非平稳过程，有广义功率谱密度、时变功率谱等表示形式，但最常用的还是对即时相关函数做时间平均，然后进行傅里叶变换，如下。
$R_X(\tau,t)=\frac{1}{2}R_N(\tau)[cos\omega_0(2t+\tau)+cos\omega_0\tau]$
所谓的对时间函数求平均，指的是
$\overline {R_X(\tau)}=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\frac{1}{2}R_N(\tau)[cos\omega_0(2t+\tau)+cos\omega_0\tau]dt$ $=\frac{1}{2}R_N(\tau)cos\omega_0\tau$
对上述自相关函数求时间平均就得到了结果：
$G_X(\omega)=\frac{1}{4}[G_N(\omega+\omega_0)+G_N(\omega-\omega_0)]$

>> a=0.8;
>> sigma=2;
>> N=500;
>> u=randn(N,1);
>> x(1)=sigma*u(1)/sqrt(1-a^2);
>> for i=2:N
x(i)=a*x(i-1)+sigma*u(i);
end
>> R=xcorr(x,'coeff');
>> plot(R,'r','linewidth',2);

在这里插入图片描述

matlab功率谱估计

参照函数https://www.mathworks.com/help/signal/ref/periodogram.html

例如，估计两个正弦信号加正态白噪声的功率谱，信号
$s(t)=cos2\pi f_1t+cos2\pi f_2(t)$ 其中， $f_1=300Hz,f_2=310Hz$

>> t=0:0.001:0.3;
x=cos(2*pi*t*300)+cos(2*pi*t*310)+randn(size(t));
subplot(2,2,1);
periodogram(x,[],512,10000);
axis([0 500 -50 0]);
subplot(2,2,2);
window = hann(301);
periodogram(x,window,512,1000);
axis([0 500 -50 0]);
>> R=xcorr(x)/150000;
>> Pw=fft(R);
>> subplot(2,2,3);
>> f=(0:length(Pw)-1)*1000/length(Pw);
>> plot(f,10*log10(abs(Pw));
>>> plot(f,10*log10(abs(Pw)));;
>> axis([0 100 -50 0]);
>> grid on
>> subplot(2,2,4);
>> pwelvh(x,128,64,[],1000);
>>> pwelch(x,128,64,[],1000);
>> axis([0 500 -50 0]);

不加窗的周期图法如下图。就是先对离散序列做傅里叶变换，再将功率谱估计成频域能量的时间平均。
$X(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jn\omega}$
则功率谱估计成是
$\hat G_X(\omega)=\frac{1}{N}|X(\omega)|^2$
在这里插入图片描述

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实际情况中数据截取的长度是有限的，数据的截断会导致一定截断误差的产生。减少截断效应，常采用数据加窗。下图是加汉宁窗后的周期图功率谱估计。
在这里插入图片描述
也可以采用传统的自相关函数法估计（先求出相关函数的估计，再对相关函数做傅里叶变换）

最后给出matlab另一个自带的韦尔奇功率谱估计。

例子：数字图像直方图

在这里插入图片描述
随机过程可以随时间变化，也可以看成随空间变化。数字图像可以看作随位置变化的随机序列。
数字图像灰度级的直方图，指的是反映图像中灰度级与出现这种灰度之间概率的图形。设R代表图像中像素灰度级，R的取值范围是[0,L-1]，L为总的灰度级数，
$h(r_k)=n_k~~k=0,1,..,L-1$
$r_k$ ：第k个灰度级，越往下越黑。n_k是具有灰度级 $r_k$ 的像素度。直接想到可以对灰度做归一化， $f(r_k)=\frac{n_k}{n}~~(k=0,1,...L-1)$
f(r_k)是灰度级出现的概率估计。归一后就有了 $\sum_{k=0}^{L-1}f(r_k)=1$
直方图可用于图像压缩、图像增强等处理技术中。下面是最最简单的处理：

>> I=imread('微信图片_20200427230532.jpg');
>> figure
subplot(1,2,1)
imshow(I)
subplot(1,2,2)
imhist(I,64)

在这里插入图片描述
调亮：I=I+30;直方图灰度级集中向高端移动。

均衡（从上面图的像素灰度级分布转换成服从均匀分布的灰度级。）
不妨先假设R是连续的，它（灰度级）归一化了，概率密度 $f_R(r)$ ，对R做变换得到新变量S
$S=T(R)$
转移函数是0到1之间的单调函数。S的概率密度
$f_s(s)=f_R(r)|\frac{dr}{ds}|$
比较经典的是积分一下，相当于求分布函数
$S=T(R)=\int_0^Rf_R(r)dr=F_R(R)$
可以证明S在0到1服从均匀分布（利用随机变量的分布函数求解其反函数可得到任意分布随机数，随机变量的函数变换可获得任意分布随机数）， $f_s(s)=1$ 。
这里把R变成离散的之后，就是把上面概率密度变成概率，把积分改成求和。R=r_k的概率是
$P\{R=r_k\}=f_R(r_k)=\frac{n_k}{n}$
那同理， $s_k=T(r_k)=\sum_{j=0}^{k}f_R(r_j)=\sum_{j=0}^k\frac{n_j}{n}$
这样，图像像素由R变成S，就服从均匀分布了。matlab仍然已经写好了这个过程。

>> J=histeq(I);
>> figure
subplot(1,2,1)
imshow(J)
subplot(1,2,2)
imhist(J,64)

在这里插入图片描述

随机过程应用：判断说话中的清音浊音

衡量标准综合如下：
语音片段的能量：短时能量通过大约长度为20ms的片段进行衡量。显然，浊音片段往往比清音片段有更高的能量，这从波形中就很容易看出。
过零率（zero crossing rate. ZCR）：
在昨天的例子中实际上已经实现了：

#在导入一段音频后，取一小段分析
n0= 57000
n1 = 57100
plt.figure(figsize = (14,5))
plt.plot(x[n0:n1])
plt.grid()

在这里插入图片描述
计算过零点个数：

zero_crossings = librosa.zero_crossings(x[n0:n1],pad = False)
print(sum(zero_crossings))

在这里插入图片描述
往往，浊音部分的过零率小，清音部分的过零率大（频率往往比较高）。而沉静片段的过零率往往和说话的过零率在一个量级，都比清音的低。当然，沉静片段的能量会小很多，所以可以区别开来。这里举一个例子，我说“东风来了，春天的脚步近了”，然后让它判断清音和浊音大概怎么分类。

首先读入文件并画图。读取前8000个样本点。

>> a=fread(fp,8000);
>> plot(a)
>> fp=fopen('春天的脚步近了.m4a');
fseek(fp,60244,-1);
>> a=fread(fp,8000);
>> plot(a)

在这里插入图片描述
像刚才在python中做的一样，计算零交叉点的数目。8000确实有点多了，这里不妨取第5000到第7000的样本点进行处理。(已事先在音频软件中观测到5000到7000的样本是在清音阶段)

figure;
for i=5000:5199
    if (a(i)>128) && (a(i+1)<128)
         x=x+1;
    else x=x;
    end
end
disp('number of zero crossing='); disp(x);

在这里插入图片描述

再在音频软件中定位到春天an处，（浊音）作出这附近的曲线：

fseek(fp,65042,-1);
b=fread(fp,2000);
plot(b);

在这里插入图片描述

用相同的方法，得到零交叉点数目，可见大概只有上个数目的不到一半。
在这里插入图片描述

再在音频软件中定位到脚步的j处（清音)，作出这附近的曲线：

fseek(fp,6724,-1);
c=fread(fp,200);
plot(c);

在这里插入图片描述
可以看出，它的振幅变化幅度较浊音更大。

归一化自协方差

$C_1=\frac{\sum_{n-1}^{N}S(n)S(n-1)}{\sqrt{\sum_{n-1}^N S^(n)\sum _{n-0}^{N-1}S^2(n)}}$
这个量规定了相邻音乐/语音片段的相关性。讲人话，C₁就可以理解成这时求的相邻单位时间延迟的自协方差。对于浊音，有大量低频信号能量，在浊音附近是的信号高度自相关的，这个值很大(讲人话，低频信号说明信号的乱起八糟的高频谐波占比比较少，信号比较“单纯”，相互的依赖性比较强)；而在清音区域自协方差就很小，在寂静区域会更小（讲人话，就是噪声基本上无法预测、是独立产生的）。与之类似，在语音信号中通常再引入一个叫谱倾斜的东西，定义成
$\frac{\sum_{i=1}^{N}s(i)s(i-1)}{\sum_{i=1}s^2(i)}$
可以用matlab对“春天来了”做差分，求出它的谱倾斜度（spectrum tilt）（当然，需要事先录制"春天来了"4字）

>>  fp=fopen('录音 (5).m4a');
%fseek(fp,800,-1);
a=fread(fp,400,'short');
a=a-128;
subplot(2,1,1);plot(a);
xlabel('sample no.');ylabel('amplitude');
for j=1:200,
	 fseek(fp,4*j,-1);
	 a=fread(fp,100);
	 a=a-128;
	 sum(j)=0;
	 for i=2:100,
	 	sum(j)=sum(j)+(a(i)*a(i-1));
	 end
	sum1(j)=0;
	for i=2:100,
		 if a(i)==0,
		 	a(i)=0.1;
		 end
	 sum1(j)=sum1(j)+a(i)*a(i);

	end
	s(j)=sum(j)/sum1(j);
end
subplot(2,1,2);plot(s);