数据结构-图
一、基本介绍
图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或者多个相邻元素。两个结点的连接称为边，结点也可以称为顶点
1.1 图的常用概念
- 顶点
- 边
- 路径
- 无向图
- 有向图
- 带权图
1.2 图的表示方式
-
邻接矩阵（二维数组）
逻辑结构分为两部分：V和E集合，其中，V是顶点，E是边。因此，用一个一维数组存放图中所有顶点数据；用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，这个二维数组称为邻接矩阵。
-
邻接表（链表）
邻接表，存储方法跟树的孩子链表示法相类似，是一种顺序分配和链式分配相结合的存储结构。如这个表头结点所对应的顶点存在相邻顶点，则把相邻顶点依次存放于表头结点所指向的单向链表中。
二、深度优先遍历
2.1 图的遍历
所谓遍历，其实就是对结点的访问。一个图的结点有很多，如何全部访问到，需要制定策略，一般是深度优先遍历与广度优先遍历
2.2 基本思想
深度优先遍历（Depth First Search）
- 从初始访问结点出发，首先访问第一个邻接结点
- 然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问其第一个邻接结点
- 即每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点
- 深度优先遍历是一个递归的过程
2.3 算法步骤
- 访问初始结点v，并标记v为已经访问
- 查找结点v的第一个邻接结点w
- 若w存在，则继续，不存在则回到第一步，从v的下一个结点继续
- 若w未被访问，则对其进行深度优先遍历递归
- 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，重新上述过程
三、广度优先遍历
3.1 基本思想
广度优先遍历（Broad First Search）
- 类似于分层搜索的过程，广度优先遍历需求使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
3.2 算法步骤
- 访问初始结点v并标记结点v为已经访问
- 结点v入队列
- 队列为非空时，则继续执行，否则算法结束
- 出队列，取出队列头结点u
- 查找结点u的第一个邻接结点w
- 若结点u的邻接结点w不存在，则回到上述步骤，否则继续进行
- 若结点w未被访问，则访问结点w并标记为已经访问
- 结点w入队列
- 查找结点u的继邻接结点w，转到上述步骤
四、代码实现
package cn.imut;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合
private int[][] edges; //存储图对应的邻接矩阵
private int numOfEdges; //表示边的数目
private boolean[] isVisited; //记录某个结点是否被访问
public static void main(String[] args) {
//测试一把图是否创建ok
int n = 8; //结点的个数
//String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环的添加顶点
for(String vertex: Vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
//添加边
//A-B A-C B-C B-D B-E
// graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
// graph.insertEdge(0, 2, 1); //
// graph.insertEdge(1, 2, 1); //
// graph.insertEdge(1, 3, 1); //
// graph.insertEdge(1, 4, 1); //
//更新边的关系
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
//显示一把邻结矩阵
graph.showGraph();
//测试一把，我们的dfs遍历是否ok
System.out.println("深度遍历");
graph.dfs(); // A->B->C->D->E [1->2->4->8->5->3->6->7]
// System.out.println();
System.out.println("广度优先!");
graph.bfs(); // A->B->C->D-E [1->2->3->4->5->6->7->8]
}
//构造器
public Graph(int n) {
//初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
}
/**
* 得到第一个邻接结点的下标w
* @param index 结点
* @return 若存在则返回下标，否则返回 -1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for(int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if(edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
/**
* 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
* @param v1
* @param v2
* @return 返回下标或者-1
*/
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for(int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if(edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
/**
*
* @param isVisited
* @param i 第一次是0
*/
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
//首先我们访问该结点,输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
//将结点设置为已经访问
isVisited[i] = true;
//查找结点i的第一个邻接结点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while(w != -1) {//说明有
if(!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
//如果w结点已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
//dfs重载，遍历所有的结点，进行dfs
public void dfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
//遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if(!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
/**
*
* @param isVisited
* @param i
*/
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u ; // 表示队列的头结点对应下标
int w ; // 邻接结点w
//队列，记录结点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList();
//访问结点，输出结点信息
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
//标记为已访问
isVisited[i] = true;
//将结点加入队列
queue.addLast(i);
while( !queue.isEmpty()) {
//取出队列的头结点下标
u = (Integer)queue.removeFirst();
//得到第一个邻接结点的下标 w
w = getFirstNeighbor(u);
while(w != -1) {//找到
//是否访问过
if(!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
//标记已经访问
isVisited[w] = true;
//入队
queue.addLast(w);
}
//以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
}
}
}
//遍历所有结点
public void bfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for (int i1 = 0; i1 < getNumOfVertex(); i1++) {
if(!isVisited[i1]) {
bfs(isVisited, i1);
}
}
}
//返回结点个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
//显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for (int[] ints : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(ints));
}
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
//返回结点i（下标）对应的数据
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
//返回v1，v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
//插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
/**
* 添加边
* @param v1 表示点的下标：第几个顶点
* @param v2 第二个结点对应的下标
* @param weight 表示
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
五、总结
深度优先算法遍历顺序：1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 5 -> 3 -> 6 -> 7
广度优先算法遍历顺序：1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6 -> 7 -> 8