[统计学笔记] （四）数据分布的数字特征

（四）数据分布的数字特征

数据的分布特征与使用的描述统计量

数据集中趋势

在统计研究中，需要搜集大量数据并对其进行加工整理，大多数情况下数据都会呈现出一种钟形分布，即各个变量值与中间位置的距离越近，出现的次数越多；与中间位置距离越远，出现的次数越少，从而形成了一种以中间值为中心的集中趋势。这个集中趋势是现象共性的特征，也是现象规律性的数量表现。

根据统计学知识，集中趋势指平均数，是一组数据中有代表性的值，这些数值趋向于落在数值大小排列的数据中心，被称为中心趋势度量。最常用的中心趋势度量有算术平均数、几何平均数、调和平均数、众数和中位数。

均值是一组数据的算术平均，它利用了全部数据信息，是概括一组数据最常用的一个值。

众数是一组数据中出现次数最多的变量值，它用于对分类数据的概括性度量，其特点是不受极端值的影响，但它没有利用全部数据信息，而且还具有不唯一性。一组数据可能有众数，也可能没有众数；可能有一个众数，也可能有多个众数。

中位数是一组数据按大小顺序排序后处于中间位置上的变量，它主要用于对顺序数据的概括性度量。

对于总体中的个体数据，有时会呈现出在一定范围内以某个数据为中心上下波动的分布特征，即数据有时具有它分布的中心，我们称之为数据分布的集中趋势。

集中趋势指标的分类

集中趋势指标的作用

可以反映一组数据分布的中心或一般水平；

可以反映同一现象在不同时间或空间条件下的发展趋势或差异；

以用来分析现象之间的依存关系；

样本平均数是统计推断的一个重要统计量。

集中趋势的测定

数值平均数

数值平均数只适用于定量数据（数值型数据），而不适用于定性数据。

1、算术平均数

（1）简单算术平均数

简单算术平均数是根据未分组数据（原始数据）计算的一种平均数，它是将所有的原始数据相加再除以数据总个数得到的。

样本计算的简单算术平均数的计算公式是：

$\large \overline{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}}{n}$

总体数据计算的简单算术平均数的计算公式为：

$\large \mu = \frac{\sum_{i=1}^{N}X_{i}}{N}$

2、加权算术平均数

加权算术平均数是根据分组数据计算的一种平均数。设样本被分为k组，各组的频数为fi样本计算的加权算术平均数的计算公式为：

其中，Xi有两种情况：在单变量值分组中，Xi代表各组的变量值；在组距式分组中，Xi代表各组的组中值，称作权重（频率）。

总体数据计算的加权算术平均数的计算公式为：

（3）算术平均数的主要数学性质

①各变量值与其算术平均数的离差之和等于零;

即：

②各变量值与其算术平均数的离差平方和最小。

即：

3. 调和平均数

调和平均数加权算术平均数的一种变形。

调和平均数与加权算术平均数的关系是：若已知各组变量值及其标志总量mi（mi=xifi ），而缺乏fi的数据时，则加权算术平均数可通过变形得到fi（fi=mi/xi）后，再以mi为权数的调和平均数形式来计算。

4. 几何平均数

几何平均数是 n个变量值连乘积的n次方根

（1）简单几何平均数

当样本数据中各变量值出现的次数都相同时，用简单几何平均数公式。

式中，xi代表各变量值，n为样本容量，为连乘符号

（2）加权几何平均数

当样本数据中各变量值出现的次数不全相同时，用加权几何平均数公式。

式中，xi代表各变量值，n为样本容量，为连乘符号

如果获得一组总体数据，根据总体数据计算的几何平均数的公式与样本数据的基本相同。

需要注意的是：

当数据中出现零或负值时不宜计算几何平均数；
几何平均数是一种适用于特殊数据的平均数，当变量值之间具有连乘积关系时，采用几何平均数更加合理；
现实生活中，几何平均数主要用于计算现象的平均增长率和平均发展速度。

统计学计算题选讲： https://blog.csdn.net/seagal890/article/details/105498085

位置代表值

1. 众数

众数（Mode）是一组数据中出现频数最多的变量值，通常用符号 $\large M_{o}$ 表示。

众数主要用于测度分类数据的集中趋势，也可作为顺序数据以及数值型数据集中趋势的测度值。

众数代表的是最常见、最普遍的情况。众数不仅可以度量定性数据的集中趋势，还可以度量定量数据的集中趋势。

众数的特点：

众数是位置型平均数，它只与位置有关，不受数据中极端值的影响；
从分布形态上看，众数是一组数据分布最高峰点所对应的变量值；
众数具有不唯一性（可以有一个或多个或没有）

组距式分组数据中众数的求解较为复杂。在组距式分组数据中，求解众数的步骤：

先要确定众数所在组；

如果是等距分组数据，那么次数最多的那一组就为众数组；如果是不等距分组数据，那么组密度（组频率/组距）最大的组就为众数组。

之后再按照下列公式求解众数的近似值。计算公式如下：

下限公式：

上限公式：

2. 中位数

中位数是一组数据从小到大排序后位于中间位置上的变量值，通常用符号表示。

由于中位数和位置有关，所以中位数只能度量定序数据和数值型数据的集中趋势；

求解中位数的步骤：

首先，对数据进行排序；
其次，确定中位数的位置，即中间位置；
最后，计算中间位置上的变量值。

中位数的位置计算公式为：

分组数据中位数的求解

对于分组数据而言，不需要再另外排序，直接按照分组的顺序即可。

分组数据中位数的位置计算公式：

求出中位数位置后，按照下列公式求解中位数的近似值。

中位数特点及应用

中位数是位置型度量值，其特点是不受极端值的影响，因此具有稳定性；
在实际运用中，当数据的偏斜程度较大时，用中位数作为该组数据一般水平的代表值比较合适。

3. 分位数

实际上，测度数据在特定位置上的水平，还可以计算四分位数、十分位数和百分位数等，我们统称它们为分位数。

四分位数

定义：一组数据由小到大排序后位于25%位置和75%位置处的变量值。

位于在25%位置处的变量值（即下四分位数，用符号QL表示）和处在75%位置处的变量值（即上四分位数，用符号QU表示），上、下四分位数之间恰好包含了50%的数据。

求解四分位数的步骤：

先排序；
然后确定上、下四分位数的位置；
最后，求相应位置上的变量值。(看例题P69)

4. 箱线图

将中位数、四分位数和其他指标结合起来，可以更详细的反应数据的分布特征。

箱线图是由一组数据的最小值（Xmin）、最大值（Xmax）、下四分位数（QL）、上四分位数（QU）和中位数（Me）这五个特征值构成。通过箱线图，可以观察数据的中心位置、离散程度及对称性等特征，同时还可以进行多组数据分布的比较。

算术平均数、众数和中位数三者的比较与应用

（1）算术平均数属于数值型平均数，它是根据全部数据计算的集中趋势测度值，因此可以综合反映全部数据的信息；众数和中位数属于位置型代表值，它们是根据数据分布的特定位置确定出的集中趋势测度值，因此不能概括全部数据的信息

（2）算术平均数和中位数在任何一组数据中都存在且具有唯一性，但不一定所有数据都存在众数，且众数也不具有唯一性。一般情况下，在数据量充分大并且具有明显集中趋势时，计算众数才有意义；

（3）算术平均数只适用于定量数据，中位数适用于定序数据和定量数据，众数则适用于所有数据，即定性数据和定量数据均可；

（4）算术平均数受极端值的影响，因此，当数据偏斜程度较大时（数据中存在极端值），不宜用算术平均数来代表数据的一般水平。众数和中位数不受极端值的影响，因此，当数据偏斜程度较大时，可以考虑用众数或中位数来代表数据的一般水平；

（5）算术平均数可以估计或推断总体特征值。而众数和中位数不宜用作此类推断

（6）算术平均数和众数、中位数的数量关系主要取决于数据分布的偏斜程度（非对称程度）

对于呈现单峰分布的数据，如果数据的分布是对称的，则众数M0、中位数Me和算术平均数X三者相等，即M0=Me=X

如果数据呈现左偏（负偏）分布，说明数据中存在极小值

从而略使中位数偏小，而众数则完全不受极小值大小和位置的影响，因此一般情况下，三者的关系表现为X＜Me＜M0

如果数据呈现右偏（正偏）分布，则一般有：M0＜Me＜X

（7）皮尔逊经验公式数据呈现偏斜但偏斜程度不大时，算术平均数、众数和中位数之间存在一定的比例关系，即

数据离散程度的测定

离散程度测定问题的提出

由于差异性是数据的本质属性，所以各个数据与其分布中心之间总是存在着不同程度的偏离。我们把数据偏离其中心值的程度叫做离散程度，离散程度可以说明数据之间差异程度的大小，那么如何测定一组数据的离散程度呢？

离散程度测定的作用

离散程度的大小主要通过变异指标来测定。变异指标的主要作用有：

可以衡量平均指标的代表程度。变异指标值越大，则数据的离散程度越大、数据越分散，继而平均指标的代表性就越弱；反之，变异指标值越小，则数据的离散程度越小、数据越集中，继而平均指标的代表性就越强；
可以反映数据的稳定性和均衡性。变异指标值越大，则数据的离散程度越大，数据的稳定性和均衡性就越差；反之，则数据的离散程度越小，数据的稳定性和均衡性就越好。

离散程度的测定

离散程度的测定，可以采用异众比率，极差、四分位差或者平均差等。

异众比率

异众比率是指非众数组的频数占总频数的比重，通常用Vr表示，计算公式为：

式中：是众数组的频数；是变量值的总频数

异众比率的特点：

可用来衡量众数的代表性强弱，即，异众比率越大，则众数的代表性越弱；反之，众数的代表性就越强；
异众比率主要用于测度定性数据的离散程度，也可以用于定量数据离散程度的测度。

极差、四分位差和平均差

极差

极差(Range)又称全距，是一组数据中最大值与最小值之差，通常用R表示。计算公式为：

对于原始数据和单变量值分组数据：为一组数据的最大值；为一组数据的最小值。
对于组距式分组数据，极差就用变量值最大组的上限减去变量值最小组的下限近似得到。

极差的特点：极差是变异指标中最简单的测度值，其优点是计算简便、易于掌握。但因极差只利用了一组数据两端的信息，容易受到极端值的影响。因此，极差不能全面、稳定地反映数据的离散程度。

四分位差

四分位差是指上四分位数（QU）与下四分位数（QL）之差，因此也叫内距或四分间距。

计算公式为：

四分位差特点：

四分位差只能说明中间50%数据的离散程度，它依然不能充分反映全部数据的离散状况。四分位差越大，说明中间50%数据的离散程度越大；四分位差越小，说明中间50%数据的离散程度越小；
在一定程度上，四分位差也可以反映中位数的代表性好坏；
四分位差是一种顺序统计量，因此四分位差适用于测度定序数据和定量数据的离散程度。

平均差

平均差(mean deviation)是各变量值与其算术平均数离差绝对值的平均数。因此，也称平均绝对离差，通常用M.D表示。

平均差的计算有两种情况

简单平均法

如果数据是未分组数据（原始数据），则用简单算术平均法来计算平均差：

加权平均法

如果数据是分组数据，采用加权算术平均法来计算平均差：

平均差的特点：

平均差意义明确，计算结果易于理解，并且利用了全部数据的信息，反映了每个变量值与平均数的平均差异程度。因此能全面地反映一组数据的离散状况。平均差越大，则数据的离散程度越大；平均差越小，则数据的离散程度越小；
为了避免正负离差相互抵消的现象发生，平均差在计算时给离差加上了绝对值。但由于绝对值的出现给计算带来了很大的不便，因此在实际应用中受到很大的限制。