人工智能数学基础03之：隐函数推导

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什么是隐函数？

如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
本质上F(x,y)=0函数y=f(x)是一样的，但是在数学理论中，总有一些函数，人们已经证明它们的函数关系，但是还是无法表示成显函数的形式，就叫做隐函数。隐函数一般是一个含x,y的方程如e^y+x2+x=0这种形式，由于形式复杂，y不容易变形为用含x的式子表示，即不易表示为y=f(x)，但如果能确定对于x的每一取值，y都有唯一确定的值与它对应的话，y就是x的函数关系，但这样的关系隐含在方程中，不容易写成明显的函数关系的形式，所以称隐函数。

隐函数存在定理1：
设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0)=0,Fx(x0,y0)≠0，则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它能满足条件y0=f(x0)，并有

（1）

（1） 式就是隐函数的求导公式，对式（1）作如下推导： 将 y=f(x),F(x,y)=0联立有 F(x,f(x)) ≡0，其左端可以看做是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得

因为Fy连续，且Fy(x0,y0) ≠0,随意存在（x0,y0）的一个邻域，在这个邻域内Fy≠0,于是得出（1）式

隐函数存在定理2：
设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)=0,Fx(x0,y0,z0)≠0，则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数z=f(x,y)，它能满足条件z0=f(x0,y0)，并有