动态规划---01背包问题（2种方法）

一、动态规划
代表一类问题（最优子结构或子问题最优性）的一般解法，是设计方法或者策略，不是具体算法
本质：递推，核心是找到状态转移的方式，写出dp方程。
解决问题：交叉，重叠子问题（最优子问题）
形式：
记忆型递归
递推
与深搜的区别：深搜要所有符合条件的解，动态规划要求最优解（唯一解）
二、题目
有n个重量和价值分别为wi和vi的物品，从这些物品中挑选出重量不超过w的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。
1<=n<=100
1<=wi,vi<=100
1<=w<<10000
输入：
n=4
（w，v）={（2,3），（1,2），（3,4），（2,3）}
w=5
输出
7（选择第0,1,3号物品）

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分析思路

• 方法一：递推

因为对每个物品只有选和不选两种情况，所以这个问题称为01背包问题。
两个决定性量，重量，价值，
物品只有两种选择拿或者不拿，在重量限定的条件下，使得价值达到最大
与深搜的区别，深搜要所有符合条件的解，动态规划要求最优解
用深搜进行分析，找一个卡点，找到之后只能从卡点开始往后选

• 代码：

public class Bag01 {
	static int[] w= {2,1,3,2}; //重量表
	static int[] v= {3,2,4,2};  //价值表
	static int n=4; //物品数量
	static int W=5; //背包的承重极限
	static int max(int a,int b) {
		return a;
	
	}
	public static void main(String[] args) {
		int ww=W;
		int ans=dfs(0,ww);  //从第一个物品开始
		System.out.println(ans);
	}
	static int dfs(int i,int ww) {
		//出口条件
		if(ww<=0) return 0;  //装不进去
		if(i==n) return 0;  //没东西可选了
		int v2=dfs(i+1,ww);  //不选择当前物品
		if(ww>=w[i]) {
			int v1=v[i]+dfs(i+1,ww-w[i]);  //选择当前物品
			return max(v1,v2);
		}
		else {
			return v2;
		}
	}
}

• 方法二：记忆型递归（处理重叠子问题）
  二叉树：递归自下往上推
  
  括号前缀代表层数和从第几个物品开始选，开始选的编号越小所选的范围越大
  记忆：把f(3,2)这样重叠的问题记忆下来
  f(x,y)采用二维数组
  x:长度n，物品数量[0,n-1]
  y:总重量 开辟到w+1
  二维数组第n行第m列
  把二维数组都填为-1

记忆递归：
1.计算前查询
2.计算后保存

• 代码

import java.util.Arrays;

public class Bag01jiyi {
	static int[] w= {2,1,3,2}; //重量表
	static int[] v= {3,2,4,2};  //价值表
	static int n=4; //物品数量
	static int W=5; //背包的承重极限
	static int max(int a,int b) {
		return a;
	}
	public static void main(String[] args) {
		int ww=W;
		int ans=m(0,ww);  //从第一个物品开始
		System.out.println(ans);
		rec=new int[n][W+1];  //二维数组存放
		for(int i=0;i<n;i++) {
			Arrays.fill(rec[i], -1);  //重量最小为0
		}
		ww=W;
		ans=m(0,ww);
		System.out.println(ans);
	}
	static int[][] rec;
	static int m(int i,int ww) {
		//出口条件
		if(ww<=0) return 0;
		if(i==n) return 0;
		//就算之前先查询
		if(rec[i][ww]>=0)
			return rec[i][ww];
		int v2=m(i+1,ww);  //不选择当前物品
		int ans;
		if(ww>=w[i]) {
			int v1=v[i]+m(i+1,ww-w[i]);  //选择当前物品
			ans=max(v1,v2);
		}
		else {
			ans=v2;
		}
		//计算之后做保存
		rec[i][ww]=ans;
		return ans;
	}
}