机器学习（聚类五）——聚类算法的衡量指标

算法的好坏，都要有相应的指标来衡量。尤其聚类的特殊性，也有一些特殊的算法。

衡量指标

这里介绍7种能够用于不同场景下聚类算法的衡量指标：

1. 混淆矩阵
2. 均一性
3. 整性
4. V-measure
5. 调整兰德系数(ARI)
6. 调整互信息(AMI)
7. 轮廓系数(Silhouette)

前三个就是混淆矩阵那些。前五个衡量时引入了y，用的比较少，做个了解就可。为什么呢？都有y值了，我完全可以直接用分类，干吗用聚类。轮廓系数用的比较多。

1）混淆矩阵
这里就不提了，前面的文章《机器学习（概述二）——开发流程》 已经做过详细的介绍。

2）均一性（类似正确率）
一个簇中只包含一个类别的样本，则满足均一性；其实也可以认为就是正确率(每个聚簇中正确分类的样本数占该聚簇总样本数的比例和)
$p=\frac{1}{k} \sum_{i=1}^k \frac{N(C_i ==K_i)}{N(K_i)}$

3）完整性（类似召回率）
同类别样本被归类到相同簇中，则满足完整性；每个聚簇中正确分类的样本数占该类型的总样本数比例的和。
$r=\frac{1}{k} \sum_{i=1}^k \frac{N(C_i ==K_i)}{N(C_i)}$

4）V-measure
均一性和完整性的加权平均
$V_\beta = \frac{(1+\beta^2) \cdot pr}{\beta^2 \cdot p + r}$

5）调整兰德系数(ARI)
Rand index(兰德指数)(RI)，RI取值范围为[0,1]，值越大意味着聚类结果与真实情况越吻合。
$RI=\frac{a+b}{C_2^{n_{samples}}}$
其中C表示实际类别信息，K表示聚类结果，a表示在C与K中都是同类别的元素对数(也就是行)，b表示在C与K中都是不同类别的元素对数（也就是列）， $C_2^{n_{samples}}$表示数据集中可以组成的对数，即从样本中取两个.

调整兰德系数(ARI，Adjusted Rnd Index)，ARI取值范围[-1,1]，值越大，表示聚类结果和真实情况越吻合。从广义的角度来将，ARI是衡量两个数据分布的吻合程度的。
$ARI=\frac{(RI−E[RI])}{\max⁡ [RI]−E[RI]}\quad\quad E[RI]表示均值$

6）调整互信息(AMI)
调整互信息(AMI，Adjusted Mutual Information)，类似ARI，内部使用信息熵
$S=\{s_1,s_2,...,s_N\} \quad U=\{U_1,U_2,...,U_R\} \quad V={V_1,V_2,...,V_C}$ $U_i \cap U_j = V_i \cap V_j = \emptyset \quad \cup _{i=1}^R U_i = \cup_{j=1}^C V_j = S \quad n_{ij} =|U_i \cap V_j|$ $P(i)=\frac{|U_i|}{N} \quad P(j)=\frac{|V_i|}{N} \quad H(U) = -\sum_{i=1}^R P(i) \log P(i) \quad H(V) = -\sum_{j=1}^C P^{'}(j) \log P^{'}(j)$ $MI(U,V)=\sum_{i=1}^R \sum_{j=1}^C P(i,j) \log \frac{P(i,j)}{P(i)P^{'}(j)} \quad P(i,j)=\frac{|U_i \cap V_j|}{N}$ $AMI(U,V)=\frac{MI(U,V)-E\{MI(U,V)\}}{\max \{ H(U),H(V)\} -E\{MI(U,V)\}}$
$S$ 表示整个数据集， $U$ 表示整个预测的数据集， $V$ 实际数据集（y值）， $C$ 表示原始的， $R$ 表示预测的。
一个样本只属于一个簇，所以 $U_i∩U_j=∅$；一个样本只能预测出一种结果，所以 $V_i∩V_j=∅$
$n_{ij}=|U_i∩V_j |$，表示实际和预测是相同的个数.

7）轮廓系数(Silhouette)
簇内不相似度：计算样本 $i$ 到同簇其它样本的平均距离为 $a_i$ ; $a_i $ 越小，表示样本 $i$ 越应该被聚类到该簇，簇 $C$中的所有样本的 $a_i$ 的均值被称为簇 $C$ 的簇不相似度。
簇间不相似度：计算样本 $i$ 到其它簇 $C_j$ 的所有样本的平均距离 $b_{ij}$ ， $b_i =\min \{b_{i1} ,b_{i2} ,...,b_{ik}\}$； $b_i$ 越大，表示样本 $i$ 越不属于其它簇。
轮廓系数： $s_i$ 值越接近 1 表示样本 $i$ 聚类越合理，越接近 -1，表示样本i应该分类到另外的簇中，近似为 0，表示样本i应该在边界上；所有样本的 $s_i$ 的均值被成为聚类结果的轮廓系数.
$s(i)=\frac{b(i)−a(i)}{\max \{a(i),b(i)\}}$
$s(i)=\begin{cases} 1-\frac{a(i)}{b(i)}, a(i)<b(i)\\ 0, a(i)=b(i)\\ \frac{b(i)}{a(i)}-1, a(i)>b(i)\\ \end{cases}$

我们希望的是最终结果越趋近于1越好

代码

基于scikit包中的创建模拟数据的API创建聚类数据，对K-Means算法和Mini Batch K-Means算法构建的模型进行评估。

API

调整兰德系数(ARI)：sklearn.metrics.adjusted_rand_score(labels_true, labels_pred)

• labels_true表示实际的
• labels_pred表示预测的

V-measure：sklearn.metrics.v_measure_score(labels_true, labels_pred, beta=1.0)

调整互信息(AMI）：sklearn.metrics.adjusted_mutual_info_score(labels_true, labels_pred, average_method=‘arithmetic’)

互信息(MI）：sklearn.metrics.mutual_info_score(labels_true, labels_pred, contingency=None)

代码
我们采用上篇博客相同的内容。

import time
import numpy as np  
import matplotlib.pyplot as plt  
import matplotlib as mpl
from sklearn.cluster import MiniBatchKMeans, KMeans 
from sklearn import metrics
from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_distances_argmin  
from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs  

## 设置属性防止中文乱码
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

centers = [[1, 1], [-1, -1], [1, -1]] 
clusters = len(centers)       

X, Y = make_blobs(n_samples=3000, centers=centers, cluster_std=0.7, random_state=28) 
Y # 在实际工作中是人工给定的，专门用于判断聚类的效果的一个值
### TODO: 实际工作中，我们假定聚类算法的模型都是比较可以，最多用轮廓系数/模型的score api返回值进行度量；
### 其它的效果度量方式一般不用
### 原因：其它度量方式需要给定数据的实际的y值 ===> 当我给定y值的时候，其实我可以直接使用分类算法了，不需要使用聚类

array([2, 0, 0, …, 2, 2, 1])

k_means = KMeans(init='k-means++', n_clusters=clusters, random_state=28)
t0 = time.time() 
k_means.fit(X)  
km_batch = time.time() - t0  
print ("K-Means算法模型训练消耗时间:%.4fs" % km_batch)

K-Means算法模型训练消耗时间:0.0981s

batch_size = 100
mbk = MiniBatchKMeans(init='k-means++', n_clusters=clusters, batch_size=batch_size, random_state=28)  
t0 = time.time()  
mbk.fit(X)  
mbk_batch = time.time() - t0  
print ("Mini Batch K-Means算法模型训练消耗时间:%.4fs" % mbk_batch)

Mini Batch K-Means算法模型训练消耗时间:0.0460s

km_y_hat = k_means.labels_
mbkm_y_hat = mbk.labels_
print(km_y_hat) # 样本所属的类别

[0 2 2 … 1 1 0]

k_means_cluster_centers = k_means.cluster_centers_
mbk_means_cluster_centers = mbk.cluster_centers_
print ("K-Means算法聚类中心点:\ncenter=", k_means_cluster_centers)
print ("Mini Batch K-Means算法聚类中心点:\ncenter=", mbk_means_cluster_centers)
order = pairwise_distances_argmin(k_means_cluster_centers,  
                                  mbk_means_cluster_centers) 
order

K-Means算法聚类中心点:
center= [[-1.0600799 -1.05662982]
[ 1.02975208 -1.07435837]
[ 1.01491055 1.02216649]]
Mini Batch K-Means算法聚类中心点:
center= [[ 0.99602094 1.10688195]
[-1.00828286 -1.05983915]
[ 1.07892315 -0.94286826]]

array([1, 2, 0], dtype=int64)

### 效果评估
score_funcs = [
    metrics.adjusted_rand_score,#ARI
    metrics.v_measure_score,#均一性和完整性的加权平均
    metrics.adjusted_mutual_info_score,#AMI
    metrics.mutual_info_score,#互信息
]

## 2. 迭代对每个评估函数进行评估操作
for score_func in score_funcs:
    t0 = time.time()
    km_scores = score_func(Y,km_y_hat)
    print("K-Means算法:%s评估函数计算结果值:%.5f；计算消耗时间:%0.3fs" % (score_func.__name__,km_scores, time.time() - t0))
    
    t0 = time.time()
    mbkm_scores = score_func(Y,mbkm_y_hat)
    print("Mini Batch K-Means算法:%s评估函数计算结果值:%.5f；计算消耗时间:%0.3fs\n" % (score_func.__name__,mbkm_scores, time.time() - t0))

K-Means算法:adjusted_rand_score评估函数计算结果值:0.72526；计算消耗时间:0.199s
Mini Batch K-Means算法:adjusted_rand_score评估函数计算结果值:0.72421；计算消耗时间:0.002s

K-Means算法:v_measure_score评估函数计算结果值:0.65754；计算消耗时间:0.011s
Mini Batch K-Means算法:v_measure_score评估函数计算结果值:0.65780；计算消耗时间:0.003s

K-Means算法:adjusted_mutual_info_score评估函数计算结果值:0.65726；计算消耗时间:0.026s
Mini Batch K-Means算法:adjusted_mutual_info_score评估函数计算结果值:0.65757；计算消耗时间:0.006s

K-Means算法:mutual_info_score评估函数计算结果值:0.72231；计算消耗时间:0.003s
Mini Batch K-Means算法:mutual_info_score评估函数计算结果值:0.72264；计算消耗时间:0.002s