- 前言
- 整形长度
- 整数在内存中的存储形式
- 整形存储的原理探究
一：前言
整数是从小学就开始学习的内容，作为程序员，整形是平时玩的最不亦乐乎的东西。这篇博文，内容基本都在大学计算机基础书本中出现，这里就算做个人笔记，加深记忆~
二：整形长度
以C语言为例，整形是int。一般占用4个字节，即可以表示2^32个数字，大约43亿。虽然已经很大了，不过如果要表示更大的数字，比如银河系的星球个数，那就需要存储量更大的数据类型，于是便出现了long。如果要存储的数据是比较小的，为了不浪费内存空间，又出现了short类型。三者的关系是：
short 至少占用 2 个字节。
int 建议为一个机器字长。32 位环境下机器字长为 4 字节，64 位环境下机器字长为 8 字节。
short 的长度不能大于 int，long 的长度不能小于 int。
也就是说，short可能和int一样大，int也可能和long一样大。
三：整数在内存中的存储形式
C语言规定，int在内存中的最高位为符号位，0~30 位表示数值，31 位表示正负号。当然，如果明确数据的范围是正数，C语言也提供了无符号数，即只能表达正数范围的整数。无符号数没有符号位，相当于32位都是表示数值，所以无符号数表示正数的范围是有符号数的两倍。
加减法是最基本的运算，所以在计算机中直接由硬件提供，所以硬件的设计要尽量简单。有符号数因为有符号位，计算机要专门识别符号位和数值位，无疑加大了硬件电路的复杂度，所以，人们想出了两个优化目标：
1.让符号位也参与运算，简化电路
2.加法和减法统一
那如何优化呢？这要先从几个概念说起~
-
原码：
将一个整数转换成二进制形式，就是其原码。例如short a = 7;，a 的原码就是0000 0000 0000 0111。
通俗的理解，原码就是一个整数本来的二进制形式。 -
反码：
对于正数，它的反码就是其原码（原码和反码相同）；负数的反码是将原码中除符号位以外的所有位（数值 位）取反，也就是 0 变成 1，1 变成 0。例如short a = 6;，a 的原码和反码都是0000 0000 0000 0110；更改 a 的值a = -18;，此时 a 的反码是1111 1111 1110 1101。 -
补码：
对于正数，它的补码就是其原码（原码、反码、补码都相同）。负数的补码是其反码加 1。例如short a = 6;，a 的原码、反码、补码都是0000 0000 0000 0110；更改 a 的值a = -18;，此时 a 的补码是1111 1111 1110 1110。
原码、反码、补码的概念只对负数有实际意义，对于正数，它们都一样。
所以，将整数写入计算机内存，会将原码转化为补码，读取整数的时候，会将补码转化为原码。
（以下为了方便，整数的表示使用1-2个字节表示）
如果要让符号位也参与运算，并且加法和减法统一，正数直接使用原码是没有问题的，但是如何有负数，就不正确了，例如:
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
显然是错误的。
为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
是不是反码就可以解决问题了呢？看下面例子：
13 - 5 = 13 + (-5)
= [0000 0000 0000 1101]原 + [1000 0000 0000 0101]原
= [0000 0000 0000 1101]反 + [1111 1111 1111 1010]反
= [1 0000 0000 0000 0111]反
= [0000 0000 0000 0111]反
= [0000 0000 0000 0111]原
= 7
显然是错的。但是5-13使用反码的计算结果是正确的，这个读者可以自行验证~~
上面的例子，其实是为了说明使用反码计算的两个明显的问题：
- 绝对值大的数减去绝对值小的数结果会比正确结果少1
- 可能出现 原码1000 0000，即-0的尴尬结果
为了解决以上两个问题，勤劳勇敢更聪明的计算机设计者们设计出了补码。
使用补码计算13-5：
13 - 5 = 13 + (-5)
= [0000 0000 0000 1101]补 + [1111 1111 1111 1011]补
= [1 0000 0000 0000 1000]补
= [0000 0000 0000 1000]补
= [0000 0000 0000 1000]反
= [0000 0000 0000 1000]原
= 8
结果就是正确的了。为什么呢？
补码其实就是反码加1（针对负数而言），绝对值大的数减去绝对值小的数，结果为正数，整个过程负数反码转为补码只有一次（被减数转为补码），所以就是相当于反码计算的结果加1,。而绝对值小的数坚绝对值大的数，结果为负数，整个过程负数反码转为补码有1次，补码转为原码1次（1.被减数转为补码 2.结果补码转为元原码），相当于和直接使用反码计算的结果一样。
补码的出现, 还解决了0的符号以及两个编码的问题:
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原
这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128。（但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示）
使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].
四：整形存储计算的原理探究
接下来，就要进入讲解原理阶段，也是最有干货的阶段啦~~
我们使用问题驱动的学习方式，这里的核心问题就是：为什么使用补码可以解决之前提到的两个问题？（1.让符号位也参与运算，简化电路 2.加法和减法统一）
首先，就像上面所说，计算机为了电路的简化，所以设计的电路只能处理加法，而且数据的存储位数是有限的。（比如int为32位，超出就溢出直接截断），所以，可以用时钟作为模型来模仿，顺时针走为加正数，逆时针走为加负数，符号位表示走的方向。
试想一下，一个时钟从格子8要回到格子4，怎么办？没错，顺时针8个格子和逆时针走4个格子。所以顺时针走8个格子的效果是和逆时针走4个格子的效果是一样的。（假设只有分针），从5走到3呢？顺时针10个格子和逆时针2个格子效果也是一样的。看出规律了么？4+8=12,10+2也等于12,12是什么，时钟格子的总数。
假如M为12（即时钟的总格子数），则对应的“补码”计算公式就是[x]补=M-|x|。很明显，规律就是逆时针走x格子和顺时针走M-|x|格子效果一样！
以下根据时钟来模拟我们的整数加法，这里规定一旦走的格子超过了一圈，就算为向符号位进位1：
1.正数加正数：
直接原码加原码。符号怎么加都为0，即正数。比如8+4，格子8顺时针走4个格子，结果走到格子12。如果是溢出的情况，比如8+5，格子8顺时针走5格子，走到1，因为超过了12，所以溢出，结果是错误的。
2.正数加负数：
结果为正数：
8+（-4），也就是说，时钟从从格子8逆时针走4个格子，相当于8-4 = 4，但是由于时钟只能顺时针走，所以只能格子8顺时针走8个格子，8+8=16，但是因为时钟只有12个格子，相当于溢出到符号位，所以数值位剩下4，符号位0+1+1 = 0，进位的1溢出截断。所以结果数值位为4，符号位为0。
结果为负数：：
假如是8-9，即从格子8逆时针走9格子，只能往前走2格子（加补码），符号位为0+1，结果为11,注意11还是“补码”，需要转为“原码”，根据[x]补=M-|x|算出补码为1，因为符号位为1，所以结果是-1。
3.负数加负数：
假如是-1+（-1）：
转化为0+（-1）+（-1）。首先0顺时针走11格子（-1的“补码”），再顺时针走11格子（-1的“补码”），此时走到格子10，符号位为0+1+1 = 2，进位1直接溢出，为0。但是因为刚才已经超出了一圈，所以符号位要加1，所以为负数，转化为原码是-2。
以上模拟了通过补码进行完整的一个整数在计算机中的运算，还原到计算机计算，假如整形用一个字节表示，且只能使用加法，那么整数的计算就是相当一个只能顺时针前进，并且时钟刻度是从0到255的时钟！通过这样巧妙的转化，使得符号位可以参与运算，并且将加减法统一起来了！。
好了，以上尽量用通俗的方式解释了整数在计算机中的存储和原理，如果要了解更理论的原理，请参考：原码, 反码, 补码 详解
