【高中】概率统计笔记

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引入

$e.g.1$

甲乙丙丁四个人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一，设$P_n$表示经过$n$次传递后球回到甲手中的概率，求：
(1)$P_2$之值.
(2)$P_n$(以$n$表示过$n$次传递后球落在甲的手中.

解答：
在一次传球中，球可以从【不是甲】传球给【甲】，此时【当前甲的概率】=【上次球在乙手里并且往甲传的概率】+【上次球在丙手里并且往甲传的概率】+【上次球在丁手里并且往甲传的概率】：

\[P_n=(\frac{1-P_{n-1}}{3})\cdot \frac{1}{3}+(\frac{1-P_{n-1}}{3})\cdot \frac{1}{3}+(\frac{1-P_{n-1}}{3})\cdot \frac{1}{3} \]

所以

\[P_n=\frac{1-P_{n-1}}{3} \]

接下来凑系数：

\[P_n-\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}\cdot (P_{n-1} - \frac{1}{4}) \]

第一次传球肯定甲手里莫得球，所以$P_1=0$
所以

\[P_n=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}(-\frac{1}{3})^{n-1} \]

$e.g.2$

甲、乙、丙三人轮流投掷一枚质地均匀的正方体骰子，规则如下：如果某人某一次掷出$1$点，则下一次继续由此人掷，如果掷出其他点数，则另外两个人抓阎决定由谁来投掷，且第一次由甲投掷.设第$n$次由甲投掷的概率是$p_n$，由乙或丙投掷的概率均为$q_n$.求数列的通项公式${ p_n } $.

解答：
考虑：【这一次是甲的概率】=【上一次甲是1点】+【上一次是乙不中1点，抓阄甲中了】+【上一次是后不中1点，抓阄甲中了】

\[p_n=\frac{1}{6} p_{n-1} + q_{n-1}\cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2}+q_{n-1} \cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{2} \]

化简得：

\[p_n=\frac{1}{6} p_{n-1}+\frac{5}{6} q_{n-1} \]

我们知道，在第$n-1$次游戏的时候，甲乙丙三人投掷骰子的概率和是$1$，所以：

\[p_{n-1}+2q_{n-1}=1 \]

所以只要联立上式就可以得到

\[17p_n=p_{n-1}+5 \]

解得

\[p_n=\frac{2}{3}(-\frac{1}{4})^{n-1}+\frac{1}{3} \]

进阶（然而还是很简单）

$e.g.3$

有人玩掷正四面体骰子走跳棋的游戏，已知正四面体骰子四个面上分别印有$A，B，C，D$棋盘上标有第$0$站、第$1$站、第$2$站、.…、第$100$站.一枚棋子开始在第$0$站，棋手每掷一次骰子，若掷出后骰子为$A$面，棋子向前跳$2$站，若掷出后骰子为$B，C，D$中的一面，则棋子向前跳$1$站，直到棋子跳到第$99$站（胜利大本营）或第$100$站（失败大本营)时，该游戏结束.设棋子跳到第$n$站的概率为$P_n$$(n \in \mathbb{N})$.
(1)求$n$与$P_n$的关系.
(2)求玩该游戏获胜和失败的概率.

解答:
当前位置$n$可以从$n-1$或者$n-2$到达，所以

\[P_n=\frac{3}{4}P_{n-1}+ \frac{1}{4}P_{n-2} \]

特征方程为：

\[x^2-\frac{3}{4}x- \frac{1}{4}=0 \]

解得$x_1=1,x_2= - \frac{1}{4}$
待定系数：

\[设P_n=Ax_1^{n-1}+Bx_2^{n-1} \]

带入$0$和$1$两个特殊值进去解$A,B$

\[P_0=1=A+B \\ P_1=\frac{1}{4}=Ax_1+B \]

解得$A=\frac{4}{5},B=\frac{1}{5}$
所以

\[P_n=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}\cdot (- \frac{1}{4})^n,n \leq 99 \]

那么获胜的概率就是：

\[P_{win}=P_{99}=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}\cdot (- \frac{1}{4})^{99} \]

失败的概率就是：

\[P_{lost}=1-P_{win}=... \]

总之算失败的时候千万不要带回$P_n$的通项公式去算，因为你在$99$格子的时候已经赢了，不会继续往后面走，不符合$P_n$通项建立的前提条件$n \leq 99$，要是他直接问你失败的概率然后你没注意到你就裂开来

$e.g.4$

现对一群牛是否认为自己帅进行随机问卷调查.若不认为自己不帅记$1$分，若继认为自己帅记$2$分.每头牛认为自己帅概率均为$\frac{2}{3}$,且每头牛认为自己是否帅的事件相互独立.在对所有牛进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为$n$分的概率为$P_n$，求数列${ P_n } $的通项公式.

解答：

Method 1:

【得到当前分的概率】= 【得到$n-1$分时再得$1$分的概率】+【得到$n-2$分时再得$2$分的概率】

\[P_n=\frac{1}{3}P_{n-1}+\frac{2}{3}P_{n-2} \]

或者我们换个方向思考；

Method 2:

因为得不到$n$分的时候只有一种情况，那就是你采访到n-1分的时候下一个遇到的牛认为自己帅，就把$n$分这个阶段跳过了。也就是：

1-【得到当前分的概率】= 【得到n-2分时再得2分的概率】

即：

\[1-P_n=\frac{2}{3} P_{n-1} \]

两种递推式殊途同归，解得：

\[P_n=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\cdot(-\frac{2}{3})^n \]

$e.g.5$

袋中共有$8$个球，其中有$5$个白球，$3$个红球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程$n$次后，袋中红球的个数记为$X_n$.求随机变量Xo的数学期望$E（X_1$）关于$n$的表达式.

解答：

容易知道，$X_n $表示的是红球的个数，在取出放回的过程中红球只可能增加不可能减少。当袋子里面全都是红球的时候，之后的取出放回全都玩一袋子$8$个红球.所以$X_n$可能的取值是$3,4,5,6,7,8$.

如果当前有$k(k\in [4,8])$个红球，那么可以从上一次是$k$个红球或者是$k-1$个红球转移而来.那么

\[P(X_n=k)=P(X_{n-1}=k) \cdot \frac{k}{8} + P(X_{n-1}=k-1) \cdot \frac{8-(k-1)}{8},(k\in [4,8]) \]

特别地

\[P(X_n=3)=P(X_{n-1}=3) \cdot \frac{3}{8} \]

毕竟开始的时候只有$3$个红球，不可能从$2$个红球的状态转移而来.

我们根据期望的定义可以写出：

\[E(X_n)=\sum_{i=3}^{8}i \cdot P(X_n=i) \]

\[E(X_{n-1})=\sum_{i=3}^{8}i \cdot P(X_{n-1}=i) \]

根据所有相互独立的事件的概率和为$1$

\[\sum_{i=3}^{8}P(X_{n-1}=i)=1 \]

可以猜测$E(X_n)$可以由$E(X_{n-1})$线性“拼凑”得到，于是待定系数，设

\[E(X_n)=xE(X_{n-1})+y \]

代入上式解得$x=\frac{7}{8},y=1$

则

\[E(X_n)=\frac{7}{8}E(X_{n-1})+1 \]

由于$E(X_0)=3$

则

\[E(X_n)=8-\frac{35}{8}(\frac{7}{8})^{n-1} \]

当然了，我们也可以换一种思路，利用差分值的期望来求原期望.

我们知道，$X_{n+1}-X_n$可能的取值是$0,1$.

\[P(X_{n+1}-X_n=0)=\frac{X_n}{8} \]

\[P(X_{n+1}-X_n=1)=1- \frac{X_n}{8} \]

则期望：

\[E(X_{n+1}-X_n)=1- \frac{X_n}{8} \]

还是有个随机变量，再套一层$E$.

\[E(E(X_{n+1}-X_n))=1- \frac{E(X_n)}{8} \]

套几层$E$都一样，不管是$E(E(X))$还是$E(E(E(E(X))))$都等于$E(X)$.

所以

\[E(X_{n+1})-E(X_n)=\frac{1}{8}E(X_n) \]

得到递推式

\[E(X_n)=\frac{7}{8}E(X_{n-1})+1 \]

结果还是一样的.

e.g.EX 某些医生与某些物理学家合作，在最近发现了一对用一种特别方式进行繁殖的微生物。其中的雄性微生物称为双噬菌体$(diphage)$，在它的表面上有两个接收器；而雌性微生物称为三噬菌体$(triphage)$,它有三个接收器：

当双噬菌体以及三噬菌体的培养组织受到$\psi$粒子照射时，菌体上恰好有一个接收器吸收该粒子，每个接收器都是等可能的.如果这是一株双噬菌体的接收器，双噬菌体就转变成三噬菌体；如果这是三噬菌体的一个接收器，则该三噬菌体就分裂成为两株双噬菌体，这样一来，如果一个实验是从一株双噬菌体开始，第一个$\psi$粒子就将它变成一株三噬菌体，第二个粒子就将这株三噬菌体变成两株双噬菌体，而第三个少粒子就将这两株双噬菌体中的一个变成一株三噬菌体、第四个$\psi$粒子或者击中一林双磁菌体，或者击中一株三磁菌体，这样就得到两株三噬菌体（概率$p_1$),或者得到三株双噬菌体(概率为$p_2$).现在从从单独一株双噬菌体开始并用单个的$\psi$粒子照射其培养组织$n$次，

$(I)$求$p_1,p_2$的值；

$(II)$求解下列问题：

$(i)$ 经过$n (n\in \mathbb{N^*})$次照射后，有$n+2$个一模一样的接收器.设随机变量$X_n$表示所存在的双噬菌体数目，设随机变量$Y_n$是第$n+1$个$\psi$粒子照射时，接收器总数的增加量（可以为负）.求出$Y_n$的分布列，并求$Y_n$的数学期望$EY_n$（结果含$EX_n$，$EX_n$是随机变量$X_n$的数学期望）.

$(ii)$求出$EX_n(n>4)$关于$n$的线性关系式.

（答案待续）