Codeforces 1215 D. Ticket Game（博弈论）

题意：

有长度为 $n$ 的串，内容为 $0-9$ 数字或 $'?'$ 。 $Mono$ 先手，填数。 $Mono$希望前 $\frac{n}{2}$ 个数和 $!=$ 后 $\frac{n}{2}$ 个数和。 $Bicarp$ 希望相等。问谁能赢。

显然各个位置的数字是没用的，我们只要知道两边的数字和分别是多少
并且状态显然和左右两边的 $'?'$ 数量有关
因为最终我们只在意左右是否相等，即差值是否为 $0$
所以两边的数字和分别是多少也不必要，我们只要知道两边数字的差即可

对于当前某种两边都有 $'?'$ 的情况，先手走了对他最优的决策，使数字差往对他有利的方向发展
后手显然可以在另一边做同样的决策，使得数字差又变回来，即后手可以抵消先手的决策
所以两边的 $'?'$ 可以互相抵消，我们只要考虑剩下一边有 $"?"$ 的情况
如果此时 $'?'$ 数量刚好为 $0$，直接根据差值即可判断胜负
否则
此时如果 $'?'$ 数量除以 $2$ ，即先手可以填的位置数量，乘以 $9$ 即先手全填 $9$ 得到的值大于另一边，那么最终差值不可能相等，先手全填 $9$ 即可保证胜利
或者如果 $'?'$ 数量除以 $2$ ，即后手可以填的位置数量，乘以 $9$ 即后手全填 $9$ 得到的值小于另一边，那么最终差值不可能相等，先手全填 $0$ 即可稳赢
只有当 $'?'$ 数量除以 $2$ 乘以 $9$ 以后值刚好等于另一边，那么后手稳赢，因为后手只要填 $9$ 先手填的数值 即可。

AC代码：

const int N = 4e5 + 7;
int n, t;
char s[N];
int tl, tr, cntl, cntr, cnt;
int main()
{
	sd(n);
	ss(s + 1);
	tl = 0, tr = 0, cntl = 0, cntr = 0;
	rep(i, 1, n / 2)
	{
		if (s[i] != '?')
			tl += s[i] - '0';
		else
			cntl++;
	}
	rep(i, n / 2 + 1, n)
	{
		if (s[i] != '?')
			tr += s[i] - '0';
		else
			cntr++;
	}
	if (cntl < cntr)
		swap(cntl, cntr), swap(tl, tr);
	cnt = cntl - cntr, t = tl - tr;
	if (!cnt && !t)
	{
		puts("Bicarp");
		return 0;
	}
	if (!cnt && t || t >= 0 || cnt / 2 * 9 > -t || cnt / 2 * 9 < -t)
	{
		puts("Monocarp");
		return 0;
	}
	puts("Bicarp");
	return 0;
}