博弈论 Codeforces1215D Ticket Game

题目链接：https://www.luogu.org/problem/CF1215D

题意：一个数字序列由n（n为整数且小于2e5）位组成,其中有整数个数位被污染，现在A和B可以轮流给被污染数位赋值（0-9），A先来，若最后序列前后两端数位和不等，A赢，否则B赢，两方都选最优策略。

分析：先是高级做法

设L为左半边减右半部最小情况（左边污染部分全赋为0，右边全赋为9），R为左半边减右半边最大情况

若（L+R）/2=0，则B赢，否则就是A赢。

证明：若没有污染部分，则显然（L+R）/2=0，就是B赢，否则就是A赢。

若有污染部分，第一个玩家开始执行操作后，每次操作都会使L的值变为L~L+9之间（左边污染部分设为0或右边设为9不变，左边设为9或右边设为0变成L+9）。注：L变后会也会对应的改变R，总体的改变是每次操作使R-L减少9.如果（L+R）>0，第一个玩家肯定会选择继续增大L，将L变为L+9，之后的第二个玩家为了消除影响，会把R变为R-9，但这永远都只是消除影响，回到初始状态，赢不了，（L+R）<0时候的情况也一样。

核心就是：第一个选手把局势破坏，而第二个选手只能填前一个的坑，永远无法改变局势，既然局势一开始赢不了，那就永远赢不了。

但比赛的时候很难想这么深，有一个简单点的想法：

首先如果初始左右相对，那只有左右两边污染个数相同，B才能赢

如果初始不同的话，最后就是先把左右两边个数少的那一位消耗完（肯定是A破坏，B还原，最后某一方消耗完后左右差值和初始一样），然后集中到左右一方里。

接下来的情况就是在剩下的一方里（假设此时还剩n个污染部位），还是A先手，两方每次选择一个0~9之间的数，如果最后选择数的和等于初始左右差值，B赢，否则A赢

这就转换为一个经典博弈问题了，只要n/2*9==差值，B赢，否则A赢。

想想为什么，因为后手的B只可以控制他和A选择的数的总和是9，故如果轮数乘9和差值相等就赢，否则就输。

详细看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=2e5+7;
char s[maxn];
int tot1,tot2;
int main(){
    int n;scanf("%d",&n);
    scanf("%s",s+1);
    int sum1=0,sum2=0;
    for(int i=1;i<=n/2;i++){
        if(s[i]!='?')sum1+=s[i]-'0';
        else tot1++;
    }
    for(int i=n/2+1;i<=n;i++){
        if(s[i]!='?')sum2+=s[i]-'0';
        else tot2++;
    }
    if(sum1==sum2){
        if(tot1==tot2) printf("Bicarp\n");
        else printf("Monocarp\n");
        return 0;
    }
    if(sum1<sum2){
        int res=sum2-sum1,num=(tot1-tot2)/2;
        if(num*9==res)printf("Bicarp\n");
        else printf("Monocarp\n");
        return 0;
    }
    if(sum1>sum2){
        int res=sum1-sum2,num=(tot2-tot1)/2;
        if(num*9==res)printf("Bicarp\n");
        else printf("Monocarp\n");
        return 0;
    }
    return 0;
}