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如何理解动态规划
经典题：给定一个数组arr，arr中所有的值都为正数且不重复。每个值代表着一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，在给定一个整数aim代表要找的钱数，求换钱有多少种哦方式
本题可以体现
暴力搜索方法->记忆搜索方法->动态规划方法->状态继续化简后的动态规划方法
暴力搜索
arr={5、10、25、1},aim=1000
1、用0张5元的货币，让[10，25,1]组成剩下的1000，最终方法数记为----res1
2、用1张5元的货币，让[10，25,1]组成剩下的995，最终方法数记为------res2
3、用2张5元的货币，让[10, 25,1]组成剩下的990，最终方法数记为-----res3
如此类推…
201、用200张5元的货币，让[10, 25,1]组成剩下的0，最终方法数记为-----res201
定义递归函数：int p1(arr,index,aim)，他的定义是如果用arr[index…N-1]这些面值的钱组成aim==1000，返回总的方法数
评价：
写出来可能比较简单，但实际上有大量的重复部分，如0张10元，2张5元 与 1张10元，0张5元后续部分的匹配是一样的
记忆搜索算法 （其实已经可以认为是动态规划了）
因为这个过程中arr不变，变得是index和aim，以p(index,aim)进行递归，准备一个hashmap，
1、每计算完一个p(index,aim)都将结果放入map中，index和aim组成共同的key，返回结果为Value
2、要进入一个递归过程时，先以index和aim注册的key在map中查询，如果已存在则直接取值
动态规划方法
arr长度为N，则生成行数为N，列数为aim+1的矩阵dp。
dp[i][j]的含义是arr[0…i]货币的情况下，组成钱数j有多少种方法，最终目标为dp[N][aim+1],dp[i][j]=sum(dp[i-1][0到j])
改进：dp[i][j]=dp[i][该行上一个要统计的格子]+dp[i-1][j]（上一行用一个格子）时间复杂度O(N*aim)
动态规划和记忆搜索方法的联系
1、记忆搜索为某种形态的动态规划方法
2、记忆搜索不关心到达某个过程的路径，只是单纯的计算递归过程，避免重复。3、动态规划的方法则是规定好每一个递归过程的计算顺序，依次进行计算，后面的计算过程严格依赖前面的计算过程。
4、两者都是空间换时间，也有枚举过程，区别在于有无规定的计算顺序
解题步骤：
1、实现暴力递归
2、暴力递归中查看哪些函数可以代表递归过程
3、找到代表递归过程的参数之后，记忆化搜索的方法非常容易实现
4、分析记忆搜索的依赖路径，找到动态规划
5、通过动态规划尝试化简
案例一
有n级台阶，每次走一级或者两级，问有多少种方法走完，
思路：
1、可以用斐波拉切
案例二
给定矩阵m，从左下角开始每次只能向下或者向右走，路径上数字加起来的和为路径和，找出最小的路径和
思路：
1、生成和m一样大小的矩阵dp
2、第一行的最小路径和第一列的最小路径可以直接累加走出（直走）
3、dp[i][j]=m[i][j]+min(dp[i-1][j]，dp[i][j-1])
案例三
给定数组arr，返回arr的最长递增子序列长度。2,1,5,3,6,4,8,9最长递增子序列13489，返回5
思路
生成长度为n的数组db,db[i]为以arr[i]的个数结尾的情况下最长递增子序列的长度
过程：检索i时从左边找比i小的数，选bp最大的+1作为自己bp的值。
dp[i]=max{dp[j]+1(0<=j<i,arr[j]<arr[i])}
案例四
给定两个字符串str1和str2，返回两个字符串最长公共子序列（子序列不一定要连续）
思路
str1长度为M，str2长度为N，生成大小为M*N的矩阵dp。dp[i][j]的含义是str1[0…i]与str2[0…j]的最长公共子序列的长度
dp求法如下
1、dp第一列,dp[i][0]，代表str1[0…i]与str2[0]的最长公共子序列长度。str2[0]只有一个字符，所以dp[i][0]最大为1。如果str1[i]==str2[0],则领dp[i][0]为1，一旦dp[i][0]为1，则令dp[i+1…M][0]全部为1,。
2、dp第一行与第一列同理，一旦dp[0][j]被设为1，则令dp[0][j+1…N]全部为1
3、其他位置dp[i][j]为一下三种情况
情况一：为dp[i-1][j]。代表着str1[0…i-1]与str2[0…j]的最长公共子序列长度
情况二：同理可知有可能是dp[i][j-1]
情况三：如果str[i]==str[j]，还可能是dp[i-1][j-1]+1的值
选择三者中最大的值即可
案例五
背包问题
一个背包承重W，有N件物品，每件物品有他们的价值，记录在数组V也有他们的重量，记录在数组W，问如何选择背包总价值最大
思路
从1到n，一件一件考虑是否加入背包
假设dp[x][y]是前x件物品，不超过重量y的时候的最大价值：枚举第x件物品的情况：
情况一：如果选择第x件物品，则前x-1件物品不能超过y-w[x]
情况二：不选择x，前x件物品，x-1件物品不能超过y
所以dp[x][y]可能等于dp[x-1][y],也就是不取第x件物品时，价值和之前一样
也可能等于dp[x-1][y-w[x]]+v[x]
选择最大的
行数为物品数量n，列数为背包重量w，从左到右，从上到下，依次计算即可。
案例六
给定两个字符串str1和str2，在给定三个整数ic，dc和rc，分别代表插入删除和替换一个字符的代价。返回将str1编辑成str2的最小代价
思路：
假设str1长度为m，str2长度n，生成大小为(M+1)*(N+1)的矩阵dp，dp[i][j]的值代表代表str1[0…i-1]编辑成str2[0…j-1]的最小代价
1、dp[0][0]代表str1空字符串编辑成str2空字符串的代价0.
2、矩阵dp第一列即dp[0…M][0],dp[i][0]表示str1/[0…i-1]编辑成空字符串的最小代价，即都删除dp[i][0]=dc*i
3、矩阵第一行同理，为str1空字符串编辑成str2的代价dp[0][j]=ic*j
4、其他位置先从左到右，从上到下，dp值只会来自四种情况
情况一：（从多出来的部分减一个）
str1[0…i-1]先编辑成str[0…i-2]，也就是删除str1[i-1],再编辑成str2[0…j-1]，dp[i-1][j]就表示str1[0…i-2]编辑成str2[0…j-1]的最小代价，所以dp[i][j]可能等于dc+dp[i-1][j]
情况二： （从少的部分加一个）
其实和一同理，dp[i][j-1]+ic
情况三：（替换一个字符）
dp[i-1][j-1]+rc
情况四：str1和str2新增的字符刚好相等。dp[i-1][j-1]
选择最小的值作为dp[i][j]的值
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