牛客网 掷骰子问题 网易 动态规划

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题目：小易参加了一个骰子游戏,这个游戏需要同时投掷n个骰子,每个骰子都是一个印有数字1~6的均匀正方体。小易同时投掷出这n个骰子,如果这n个骰子向上面的数字之和大于等于x,小易就会获得游戏奖励。小易想让你帮他算算他获得奖励的概率有多大。

输入描述：输入包括两个正整数n和x(1 ≤ n < 25, 1 ≤ x < 150),分别表示骰子的个数和可以获得奖励的最小数字和。

输出描述：输出小易可以获得奖励的概率。 如果概率为1,输出1,如果概率为0,输出0,其他以最简分数(x/y)的形式输出。

解题思路：要计算大于x的概率，则需要计算所有骰子点数和的所有可能，以及大于x的所有可能。总数比较容易计算。all_sum = ，主要的问题是计算大于等于x的数目。暴力解法是计算出所有可能的数目，然后找出大于x的数目，这样时间复杂度是指数级别的。这个题可以比较容易想到用动态规划的方法来求解， 前i个骰子获得大于x的概率与后面的骰子点数没有关系，这就满足动态规划的条件。用数组dp[i][j]表示前i个骰子数字之和为j的可能情况，递推公式为dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i - 1][j - k]。k为1到6的数。最后的输出是以分数的形式输出，所以在得到总数和大于x的数后需要约分，所以求出二者的最大公约数，然后都除以公约数，得到最后的答案。样例给的数据有点大，需要用long long不然通不过。下面是代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<math.h>
using namespace std;
//求最大公约数
long long gcd(long long a, long long b){
    if(a < b){
        swap(a, b);
    }
    while(a % b != 0){
        long long tem = b;
        b = a % b;
        a = tem;
    }
    return b;
}
int main(){
    int n;
    int x;
    while(cin >> n >> x){
        //前i个骰子获得的数字之和为j的掷骰子的数目
        vector<vector<long long>> dp(n + 1, vector<long long> (6 * n + 1, 0));
        long long x_sum = 0;
        dp[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int k = 1; k <= 6; k++){
                for(int j = 1; j <= 6 * n; j++){
                    if(j >= k){
                        dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i - 1][j - k];
                    }
                }
            }
        }
        for(int i = x; i < 6 * n + 1; i++){
			x_sum += dp[n][i];
        }
		long long all_sum = pow(6, n);
        if(x_sum == 0){
            cout << 0 << endl;
        }
        else if(x_sum == all_sum){
            cout << 1 << endl;
        }
        else{
            long long gc = gcd(x_sum, all_sum);
            x_sum /= gc;
            all_sum /= gc;
            cout << x_sum << "/" << all_sum << endl;
        }
    }
    return 0;
}

可以看出时间复杂度是，相对于指数的时间复杂度下降了很多，空间复杂度是。