[CQOI2014] 和谐矩阵 - 高斯消元,构造

称一个由 \(0\) 和 \(1\) 组成的矩阵是和谐的，当且仅当每个元素都有偶数个相邻的1。一个元素相邻的元素包括它本身，及他上下左右的 \(4\) 个元素。给定矩阵的行数和列数，请计算并输出一个和谐的矩阵。注意所有元素为0的矩阵是不允许的。

Solution

即对于矩阵中的每一个点 \((x,y)\)，需要求出一种方案使得

\[a[x][y] \oplus a[x+1][y] \oplus a[x-1][y] \oplus a[x][y+1] \oplus a[x][y-1] = 0 \]

于是我们列出了 \(nm\) 个方程，共有 \(nm\) 个未知量，高斯消元即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 45;
const int dx[]={0,0,0,-1,1},dy[]={0,-1,1,0,0};

int n,m,id[N][N],ans[N*N];
bitset <N*N> a[N*N];

void gauss() {
    for(int i=1;i<=n*m;i++) {
        for(int j=i;j<=n*m;j++) {
            if(a[j][i]>0) {
                swap(a[i],a[j]);
                break;
            }
        }
        if(!a[i][i]) ans[i]=1;
        for(int j=i+1;j<=n*m;j++) {
            if(a[j][i]) a[j]^=a[i];
        }
    }
    for(int i=n*m;i>=1;--i) {
        for(int j=i+1;j<=n*m;j++) {
            ans[i]^=(ans[j]*a[i][j]);
        }
    }
}

signed main() {
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=1;j<=m;j++) {
            id[i][j]=(i-1)*m+j;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=1;j<=m;j++) {
            for(int k=0;k<=4;k++) {
                int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
                if(x>=1 && y>=1 && x<=n && y<=m) {
                    a[id[i][j]][id[x][y]]=1;
                }
            }
        }
    }
    gauss();
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=1;j<=m;j++) {
            cout<<ans[id[i][j]]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}