【矩阵求逆】高斯消元拓展

本文链接： https://blog.csdn.net/wljoi/article/details/102709616

前置知识

高斯消元

逆矩阵定义

对于两个矩阵 $A,B$ ，如果 $A\times B=E$ （其中 $E$ ）为单位矩阵，那么我们称 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵， $A$ 为可逆矩阵。

实现

前置：单位矩阵( $E$ )

单位矩阵的定义：

一个从左上角到右下角的对角线（主对角线）的元素全部为 $1$ ，其余元素全部为 $0$ 的矩阵。

单位矩阵的性质： $A\times E=E\times A=A$ （常用于矩阵快速幂）

前置：矩阵的初等变换

定义矩阵的初等变换：

$1.交换矩阵中两行/列$

$2.将矩阵的一行/列同时乘一个非零数k$

$3.将矩阵的一行/列乘非零数k后加到另一行/列（注意是加到）$

容易看出，矩阵的初等变换是可逆的，并且其逆运算是同一种类型的初等变换。

前置：初等矩阵

初等矩阵的定义：

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。

初等矩阵的性质：设 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，那么对 $A$ 施行一次初等行变换，就等价于在 $A$ 的左边乘上一个相应的 $m$ 阶(即 $m\times m$ )的初等矩阵 $M$ （即 $M\times A$ ）。对 $A$ 施行一次初等列变换，其结果等价于在 $A$ 的右边乘以相应的 $n$ 阶初等矩阵 $N$ （即 $A\times N$ ）。反之亦然。

对于相应矩阵的解释：如果单位矩阵 $E$ 做出一种初等变换得到的矩阵为 $E'$ ，矩阵 $B$ 做出同样的变换得到的矩阵为 $B'$ ，那么 $B'=E'\times B$ 。

初等矩阵一定存在逆矩阵。

矩阵求逆

首先，由矩阵的初等变换可逆得：

如果 $A$ 存在逆矩阵，那么 $A$ 可以通过一些初等变换，化为单位矩阵 $E$ ，即：

$P_1\times P_2\times ...\times P_n \times A=E$
证明需要用到行列式的相关知识，此处不予提及。

我们在等式两边同时乘上 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ ，那么我们有：
$P_1\times P_2\times ...\times P_n=A^{-1}$
所以我们可以构造一个单位矩阵，在使用高斯消元将 $A$ 转化成单位矩阵是我们同时对该单位矩阵进行同样的操作，最后输出单位矩阵即可。

例题：传送门

解析：用刚才的方法操作就好，分数取模时要求出逆元。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define Mod 1000000007
using namespace std;
int f[405][805];
int ksm(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1)  res=res*a%Mod;
		a=a*a%Mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
signed main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%lld",&f[i][j]);
		}
		f[i][i+n]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i;j<=n;j++){
			if(f[j][i]){
				for(int k=1;k<=n*2;k++){
					swap(f[i][k],f[j][k]);
				}
				break;
			}
		}
		if(!f[i][i]){
			cout<<"No Solution\n";
			return 0;
		}
		int r=ksm(f[i][i],Mod-2);
		for(int j=i;j<=n*2;j++){
			f[i][j]=f[i][j]*r%Mod;
		}
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(j!=i){
				r=f[j][i];
				for(int k=i;k<=n*2;k++){
					f[j][k]=(f[j][k]-r*f[i][k]%Mod+Mod)%Mod;
				}
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=n+1;j<=n*2;j++){
			printf("%lld ",f[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}