矩阵高斯消元解方程组

有如下方程组，求 x 、y、z

$$\begin{cases} x+3y+z=9; \\ x+y-z=1; \\ 3x+11y-6z=35; \end{cases}$$

矩阵乘法表示：

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 11 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 1 \\ 35 \end{bmatrix}$$

用矩阵的高斯消元法：主元不能为0，才有解，第一行第一列不为0，第一行暂不变

1. 增广矩阵(前三列表示x、y、z 列的系数)

$$\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 1 & 9 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 11 & 6 & 35 \end{array} \right]$$

1. 首行不变，消元第二行的x元: row2 - row1

   $$\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 1 & 9 \\ 0 & -2 & -2 & -8 \\ 3 & 11 & 6 & 35 \end{array} \right]$$

2. 前两行不变，消元第三行的x和y元:

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   先 row3 - row1*3

$$\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 1 & 9 \\ 0 & -2 & -2 & -8 \\ 0 & 2 & 3 & 8 \end{array} \right]$$

再row3 + row2

$$\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 1 & 9 \\ 0 & -2 & -2 & -8 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right]$$

1. 结果：

   由第三行知，z=0； 代入第二行知，y=4；代入第一行知，x=-3
   回代原方程：
   

   $$\begin{cases} -3+3{*}4+0=9; \\ -3+4-0=1; \\ -3{*}3+11{*}4-6{*}0=35; \end{cases}$$