[Luogu P3164] [BZOJ 3503] [CQOI2014]和谐矩阵

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题目描述

我们称一个由 $0$ 和 $1$ 组成的矩阵是和谐的，当且仅当每个元素都有偶数个相邻的 $1$ 。一个元素相邻的元素包括它本身，及他上下左右的 $4$ 个元素（如果存在）。给定矩阵的行数和列数，请计算并输出一个和谐的矩阵。注意：所有元素为 $0$ 的矩阵是不允许的。

输入输出格式

输入格式：

输入一行，包含两个空格分隔的整数 $m$ 和 $n$ ，分别表示矩阵的行数和列数。

输出格式：

输出包含 $m$ 行，每行 $n$ 个空格分隔整数（ $0$ 或 $1$ ），为所求矩阵。测试数据保证有解。

输入输出样例

输入样例#1：

4 4

输出样例#1：

说明

数据范围

$1 \le m, n \le 40$

解题分析

首先我们可以暴力高斯消元，因为是异或方程组，可以用 $bitset$ 优化，复杂度是 $O(\frac{(nm)^3}{32})$ ，的确能过…

然而这里有一种更优雅的写法：我们发现只要确定第一行的元素就可以确定整个表的元素，而整个表有合法解的必要条件为第 $n+1$ 行元素递推出来全部为 $0$ 。那么我们先 $O(nm)$ 递推出第 $n+1$ 行元素对应的第一行的元素组成，这样就可以列出 $m$ 个 $m$ 元方程，进而解出得到第一行的元素，最后再递推一次即可。

总复杂度 $O(m^3)$ 。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <bitset>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 45
#define ll long long


int n, m;
ll tran[MX][MX];
std::bitset <MX> mat[MX], ans[MX];


void Gauss()
{
	for (R int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		for (R int j = i; j <= m; ++j)
		if (mat[j][i]) {std::swap(mat[j], mat[i]); break;}
		if (!mat[i][i]) continue;
		for (R int j = i + 1; j <= m; ++j) if (mat[j][i]) mat[j] ^= mat[i];
	}
	for (R int i = m; i; --i)
	{
		ans[1][i] = mat[i][i] ? mat[i][m + 1] : 1;
		if (ans[1][i]) for (R int j = 1; j < i; ++j) if (mat[j][i]) mat[j][m + 1] = !mat[j][m + 1];
	}
}


int main(void)
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (R int i = 1; i <= m; ++i) tran[1][i] = 1ll << i;
	for (R int i = 2; i <= n + 1; ++i)
	for (R int j = 1; j <= m; ++j)
	tran[i][j] = tran[i - 1][j - 1] ^ tran[i - 1][j] ^ tran[i - 1][j + 1] ^ tran[i - 2][j];
	for (R int i = 1; i <= m; ++i)
	for (R int j = 1; j <= m; ++j) mat[i][j] = (tran[n + 1][i] >> j) & 1;
	Gauss();
	for (R int i = 2; i <= n; ++i)
	for (R int j = 1; j <= m; ++j)
	ans[i][j] = ans[i - 1][j - 1] ^ ans[i - 1][j] ^ ans[i - 1][j + 1] ^ ans[i - 2][j];
	for (R int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (R int j = 1; j <= m; ++j) printf("%d ", (int)ans[i][j]);
		puts("");
	}
}