3461 Oulipo：这可能是我见过最详细的KMP教程

题目大意

传送门
给定单词W和文本T，计算W在T中出现的次数：W的所有连续字符必须与T的连续字符完全匹配。可能会发生重叠。

思路分析

• 最暴力的方法，依次遍历T的每个元素，一旦首个元素和W【0】匹配，就检查之后的字符串能不能完全和W匹配。复杂度 $O(|W||T|)$，卡死。
• 稍微进阶一点：二分查找 $W[0]$在 $T$中的位置，找到就检查与之后是否完全匹配，找不到就退出。似乎复杂度降低了，但是容易被卡死，如果 $T$中包含了许多 $W[0]$也就是重叠部分很多，依旧会TLE。

借用别人的图：

我们的匹配任务表示为：

第一种方法就是：一旦匹配错误，移动i指针到下一个位置，但是我们的BC元素明明已经匹配过了，这里并没有使用已知的信息。

第二种方法是：一旦匹配错误，不会再把i移动回第1位，因为主串匹配失败的位置前面除了第一个A之外再也没有A了，我们为什么能知道主串前面只有一个A？因为我们已经知道前面三个字符都是匹配的！（这很重要）。移动过去肯定也是不匹配的！所以i可以不动，我们只需要移动j即可

上面的这种情况还是比较理想的情况，我们最多也就多比较了2次。但假如是在主串“SSSSSSSSSSSSSA”中查找“SSSSB”，比较到最后一个才知道不匹配，然后i回溯，这个的效率是显然是最低的。

大牛们是无法忍受“暴力破解”这种低效的手段的，于是他们三个研究出了KMP算法。其思想是：“利用已经部分匹配这个有效信息，保持i指针不回溯，通过修改j指针，让模式串尽量地移动到有效的位置。”

所以，整个KMP的重点就在于当某一个字符与主串不匹配时，我们应该知道j指针要移动到哪？

接下来我们自己来发现j的移动规律：

如图：C和D不匹配了，我们要把j移动到哪？显然是第1位。为什么？因为前面有一个A相同啊：

如下图也是一样的情况：

可以把j指针移动到第2位，因为前面有两个字母是一样的：

至此我们可以大概看出一点端倪，当匹配失败时，j要移动的下一个位置k。存在着这样的性质：最前面的k个字符和j之前的最后k个字符是一样的。

如果用数学公式来表示是这样的

$P[0 , k-1] == P[j-k , j-1]$

这个相当重要，如果觉得不好记的话，可以通过下图来理解：

弄明白了这个就应该可能明白为什么可以直接将j移动到k位置了。

$当T[i] != P[j]时$（T在i位置，P在j位置不匹配）

$有T[i-j , i-1] == P[0 , j-1]$(前j-1个位置都是匹配的)

$由P[0 , k-1] == P[j-k , j-1]$(KMP的关键，从j位置开始前k个元素，和从头开始k个元素相同)

$必然：T[i-k ~ i-1] == P[0 ~ k-1]$（所以i指针不用移动，j指针移动到第k位，保证了i和j的前k-1位肯定匹配）

好，接下来就是重点了，怎么求这个（这些）k呢？因为在P的每一个位置都可能发生不匹配，也就是说我们要计算每一个位置j对应的k，所以用一个数组next来保存，next[j] = k，表示当T[i] != P[j]时，j指针的下一个位置。（显然我们提前处理出来下一个位置会省时很多，否则程序调用时会求多次）

很多教材或博文在这个地方都是讲得比较含糊或是根本就一笔带过，甚至就是贴一段代码上来，为什么是这样求？怎么可以这样求？根本就没有说清楚。而这里恰恰是整个算法最关键的地方。

public static int[] getNext(String ps) {
    char[] p = ps.toCharArray();
    int[] next = new int[p.length];
    next[0] = -1;
    int j = 0;
    int k = -1;
    while (j < p.length - 1) {
       if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
           next[++j] = ++k;
       } else {
           k = next[k];
       }
    }
    return next;
}

我们自己来推导思路，现在要始终记住一点，next[j]的值（也就是k）表示，当P[j] != T[i]时，j指针的下一步移动位置。

先来看第一个：当j为0时，如果这时候不匹配，怎么办？

像上图这种情况，j已经在最左边了，不可能再移动了，这时候要应该是i指针后移。所以会有next[0] = -1;这个初始化。

显然，j指针一定是后移到0位置的。因为它前面也就只有这一个位置了~~~

下面这个是最重要的，请看如下图：

请仔细对比这两个图。

我们发现一个规律：

$当P[k] == P[j]时，$

$有next[j+1] == next[j] + 1$

其实这个是可以证明的：

$因为在P[j]之前已经有P[0 , k-1] == p[j-k , j-1]。（next[j] == k）$

$这时候现有P[k] == P[j]，我们是不是可以得到P[0 , k-1] + P[k] == p[j-k , j-1] + P[j]。$

$即：P[0 , k] == P[j-k , j]，即next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1。$

这里的公式不是很好懂，还是看图会容易理解些。

那如果P[k] != P[j]呢？比如下图所示：

像这种情况，你从代码上看应该是这一句：k = next[k];为什么是这样子？你看下面应该就明白了。

现在你应该知道为什么要k = next[k]了吧！像上边的例子，我们已经不可能找到[ A，B，A，B ]这个最长的后缀串了，但我们还是可能找到[ A，B ]、[ B ]这样的前缀串的。所以这个过程像不像在定位[ A，B，A，C ]这个串，当C和主串不一样了（也就是k位置不一样了），那当然是把指针移动到next[k]啦。

总结一下：如果 $P[k]==P[j]$，那么 $[0,k-1],[j-k,j]$都是匹配的，那么我们只需要 $P[j+1]=P[k+1]$，如果不想等，那么 $[k-1,j]$已经匹配的元素都是要不得的，我们让 $k$不断的向前迭代，直到找到一个 $P[k]==P[j]$，或者直到 $k==-1$，此时再执行 $P[j+1]=P[k+1]$。

有了next数组之后就一切好办了，我们可以动手写KMP算法了：

public static int KMP(String ts, String ps) {
    char[] t = ts.toCharArray();
    char[] p = ps.toCharArray();
    int i = 0; // 主串的位置
    int j = 0; // 模式串的位置
    int[] next = getNext(ps);
    while (i < t.length && j < p.length) {
       if (j == -1 || t[i] == p[j]) { // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归0
           i++;
           j++;
       } else {
           // i不需要回溯了
           // i = i - j + 1;
           j = next[j]; // j回到指定位置
       }
    }
    if (j == p.length) {
       return i - j;
    } else {
       return -1;
    }

}

和暴力破解相比，就改动了4个地方。其中最主要的一点就是，i不需要回溯了。

最后，来看一下上边的算法存在的缺陷。来看第一个例子：

显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]

所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。

显然，发生问题的原因在于P[j] == P[next[j]]。

所以我们也只需要在计算next时添加一个判断条件即可：

public static int[] getNext(String ps) {
    char[] p = ps.toCharArray();
    int[] next = new int[p.length];
    next[0] = -1;
    int j = 0;
    int k = -1;
    while (j < p.length - 1) {
       if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
           if (p[++j] == p[++k]) { // 当两个字符相等时要跳过
              next[j] = next[k];
           } else {
              next[j] = k;
           }
       } else {
           k = next[k];
       }
    }
    return next;
}

好了写了一早上，终于把KMP理解的差不多了，现在开始写题了，显然对于3461这个题，我们要的不是一个字符串匹配的位置，而是有几个匹配的字符串，因此需要稍加改动：

特别注意next数组必须处理next[len(W)]的情况，这是当他匹配成功后我们需要将j值调整到这里。

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;

#define MAX 10005
#define ll int
#define p pair<int,int>
#define inf 1111111111

string W, T;
ll nextArr[MAX];

// s1,s2:W,T各自的size
void getNext(ll s1, ll s2) {
	memset(nextArr, 0, sizeof(nextArr));
	ll k = -1, j = 0; nextArr[0] = -1;
	while (j < s1) {//next[s1]是匹配成功之后的位置
		if (k == -1 || W[j] == W[k]) {
			if (W[++j] == W[++k]) nextArr[j] = nextArr[k];
			else nextArr[j] = k;
		}
		else k = nextArr[k];
	}
}

ll KMP(ll s1, ll s2) {
	ll i = 0, j = 0, res = 0;

	while (i < s2) {
		if (j == -1 || T[i] == W[j]) {
			i++; j++;
		}
		else {
			j = nextArr[j];
		}
		if (j == s1) {//匹配成功了
			res++; 
		}
	}
	return res;
}

int main() {
	ll N, res = 0, sign = 1;
	cin >> N;
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		cin >> W >> T; res = 0;
		ll s1 = W.size(), s2 = T.size(), k = 0;
		W += ' '; //W加一个元素
		getNext(s1, s2);
		cout << KMP(s1, s2) << endl;
	}
}