机器学习之逻辑回归--01

一、逻辑回归基本概念

1. 什么是逻辑回归

逻辑回归就是这样的一个过程：面对一个回归或者分类问题，建立代价函数，然后通过优化方法迭代求解出最优的模型参数，然后测试验证我们这个求解的模型的好坏。

Logistic回归虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，主要用于两分类问题（即输出只有两种，分别代表两个类别）

回归模型中，y是一个定性变量，比如y=0或1，logistic方法主要应用于研究某些事件发生的概率

2. 逻辑回归的优缺点

优点： 
1）速度快，适合二分类问题 
2）简单易于理解，直接看到各个特征的权重 
3）能容易地更新模型吸收新的数据 
缺点： 
对数据和场景的适应能力有局限性，不如决策树算法适应性那么强

3. 逻辑回归和多重线性回归的区别

Logistic回归与多重线性回归实际上有很多相同之处，最大的区别就在于它们的因变量不同，其他的基本都差不多。正是因为如此，这两种回归可以归于同一个家族，即广义线性模型（generalizedlinear model）。 
这一家族中的模型形式基本上都差不多，不同的就是因变量不同。这一家族中的模型形式基本上都差不多，不同的就是因变量不同。

• 如果是连续的，就是多重线性回归
• 如果是二项分布，就是Logistic回归
• 如果是Poisson分布，就是Poisson回归
• 如果是负二项分布，就是负二项回归

4. 逻辑回归用途

• 寻找危险因素：寻找某一疾病的危险因素等；
• 预测：根据模型，预测在不同的自变量情况下，发生某病或某种情况的概率有多大；
• 判别：实际上跟预测有些类似，也是根据模型，判断某人属于某病或属于某种情况的概率有多大，也就是看一下这个人有多大的可能性是属于某病。

5. Regression 常规步骤

• 寻找h函数（即预测函数）
• 构造J函数（损失函数）
• 想办法使得J函数最小并求得回归参数（θ）

6. 构造预测函数h(x)

1) Logistic函数（或称为Sigmoid函数），函数形式为： 
 

对于线性边界的情况，边界形式如下： 

其中，训练数据为向量 
 
最佳参数 

构造预测函数为： 

函数h(x)的值有特殊的含义，它表示结果取1的概率，因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为： 
P(y=1│x;θ)=h_θ (x) 
P(y=0│x;θ)=1-h_θ (x)

7.构造损失函数J（m个样本，每个样本具有n个特征）

Cost函数和J函数如下，它们是基于最大似然估计推导得到的。 

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8. 损失函数详细推导过程

1） 求代价函数 
概率综合起来写成： 
 
取似然函数为： 
 
对数似然函数为： 

最大似然估计就是求使l(θ)取最大值时的θ，其实这里可以使用梯度上升法求解，求得的θ就是要求的最佳参数。

在Andrew Ng的课程中将J(θ)取为下式，即： 

2) 梯度下降法求解最小值 

θ更新过程可以写成： 

9. 向量化

ectorization是使用矩阵计算来代替for循环，以简化计算过程，提高效率。 
向量化过程： 
约定训练数据的矩阵形式如下，x的每一行为一条训练样本，而每一列为不同的特称取值：

 
g(A)的参数A为一列向量，所以实现g函数时要支持列向量作为参数，并返回列向量。 
θ更新过程可以改为： 

综上所述，Vectorization后θ更新的步骤如下：

1. 求 A=x*θ
2. 求 E=g(A)-y
3. 求

10.正则化

（1） 过拟合问题 
过拟合即是过分拟合了训练数据，使得模型的复杂度提高，繁华能力较差（对未知数据的预测能力） 
下面左图即为欠拟合，中图为合适的拟合，右图为过拟合。 

（2）过拟合主要原因 
过拟合问题往往源自过多的特征 
解决方法 
1）减少特征数量（减少特征会失去一些信息，即使特征选的很好） 
• 可用人工选择要保留的特征； 
• 模型选择算法； 
2）正则化（特征较多时比较有效） 
• 保留所有特征，但减少θ的大小

（3）正则化方法 
正则化是结构风险最小化策略的实现，是在经验风险上加一个正则化项或惩罚项。正则化项一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，正则化项就越大。

正则项可以取不同的形式，在回归问题中取平方损失，就是参数的L2范数，也可以取L1范数。取平方损失时，模型的损失函数变为：

lambda是正则项系数： 
• 如果它的值很大，说明对模型的复杂度惩罚大，对拟合数据的损失惩罚小，这样它就不会过分拟合数据，在训练数据上的偏差较大，在未知数据上的方差较小，但是可能出现欠拟合的现象； 
• 如果它的值很小，说明比较注重对训练数据的拟合，在训练数据上的偏差会小，但是可能会导致过拟合。 
正则化后的梯度下降算法θ的更新变为： 

'''
Created on Oct 27, 2010
Logistic Regression Working Module
@author: Peter
'''
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt

def loadDataSet():
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open('testSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        #print(lineArr)
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat

def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))

#迭代权重
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
    dataMatrix = mat(dataMatIn)             #convert to NumPy matrix 转化为矩阵
    labelMat = mat(classLabels).transpose() #convert to NumPy matrix  矩阵的转置
    m,n = shape(dataMatrix) #获取行数 列数

    #print(m,n)
    alpha = 0.001
    #迭代次数
    maxCycles = 500
    #初始化权重
    weights = ones((n,1))
    #print(weights)

    #对权重进行训练
    for k in range(maxCycles):              #heavy on matrix operations
        h = sigmoid(dataMatrix*weights)     #matrix mult
        error = (labelMat - h)              #vector subtraction
        weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error #matrix mult
    return weights




#画出不决策边界
def plotBestFit(weights):  #weights是
    import matplotlib.pyplot as plt
    dataMat,labelMat=loadDataSet()
    dataArr = array(dataMat)
    n = shape(dataArr)[0]
    #print(n)
    xcord1 = []; ycord1 = []
    xcord2 = []; ycord2 = []
    for i in range(n):
        if int(labelMat[i])== 1:
            xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
    ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
    x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)

    '''
        weight[0]*1 + weight[0]*x_1 + weight[2]*x_2 = 0
        x_2 = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
    '''
    y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]


    #print(type(x))
    #print(type(y))
    ax.plot(x, y)
    plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2');
    plt.show()


#随机梯度上升算法
def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.01
    weights = ones(n)   #initialize to all ones



    for i in range(m):
        h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))

        error = classLabels[i] - h

        weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i]
    return weights
'''
if __name__ == '__main__':
    dataArr,labelMat = loadDataSet()
    #weights = gradAscent(dataArr,labelMat)
    weights = stocGradAscent0(array(dataArr), labelMat)
    print(weights)
    #print('1111111111111111')
    #plotBestFit(weights.getA())

    #dataArr = array(dataArr)
    #print(dataArr[:,0])
    #plt.scatter(dataArr[:,1], dataArr[:,2])
    #print(dataArr)
    #plt.show()
'''

#改进梯度上升算法
def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
    m,n = shape(dataMatrix)
    weights = ones(n)   #initialize to all ones
    for j in range(numIter):
        dataIndex = list(range(m))
        for i in range(m):
            alpha = 4/(1.0+j+i)+0.0001    #apha decreases with iteration, does not 
            randIndex = int(random.uniform(0,len(dataIndex)))#go to 0 because of the constant
            h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
            error = classLabels[randIndex] - h
            weights = weights + alpha * error * dataMatrix[randIndex]
            del(dataIndex[randIndex])
    return weights

'''
    下面为线性回归的例子：
        预测疝气病症预测病马死亡率
        数据集见机器学习实践
'''


def classifyVector(inX, weights):
    prob = sigmoid(sum(inX*weights))
    if prob > 0.5: return 1.0
    else: return 0.0

def colicTest():
    frTrain = open('horseColicTraining.txt'); #训练集
    frTest = open('horseColicTest.txt')  #测试集



    trainingSet = []; trainingLabels = []

    for line in frTrain.readlines():
        currLine = line.strip().split('\t')
        lineArr =[]
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        trainingSet.append(lineArr) # 每一个记录的特征数据

        trainingLabels.append(float(currLine[21])) #预测项

    trainWeights = stocGradAscent1(array(trainingSet), trainingLabels, 1000)
    errorCount = 0; numTestVec = 0.0
    for line in frTest.readlines():
        numTestVec += 1.0
        currLine = line.strip().split('\t')
        lineArr =[]
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        print('exp:' + str(classifyVector(array(lineArr), trainWeights)) + ' end:' + str(currLine[21]))
        if int(classifyVector(array(lineArr), trainWeights))!= int(currLine[21]):
            errorCount += 1
    errorRate = (float(errorCount)/numTestVec)
    print("the error rate of this test is: %f" % errorRate)
    return errorRate

def multiTest():
    numTests = 10; errorSum=0.0
    for k in range(numTests):
        errorSum += colicTest()
    print("after %d iterations the average error rate is: %f" % (numTests, errorSum/float(numTests)))


multiTest()