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数学建模常.模型及其MATLAB等软件实现
讲师：清风
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十大模型，涉及近三十种算法
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为什么录制这门课程？
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如何准备数模？
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数学建模的任务分配
数学建模三大块： 建模+ 编程+ 写作
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模型讲解
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从简单的例子开始，慢慢的引出模型。
（体验真正的建模过程）
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编程讲解
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不需要MATLAB基础，先讲基础语法和函数，再讲模型的实现（注释详细）。
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写作训练
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每一讲结束后都会有相应的作业供你练习，例如：
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写作训练
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每个算法都会配有拓展资料
（看看优秀论文是如何写作的吧）
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第一讲:层次分析法
(The analytic hierarchy process, 简称AHP)
建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决
评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运
动员或者员工表现的更优秀）。
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温馨提示
（1）视频中提到的所有附件可在售后群的群文件中下载。
包括讲义、代码、软件安装包、优秀的作业、我视频中推荐的资料等。
（2）视频中或者有讲义中发现有错误可私戳群主清风反馈。我会将错误修改后重新上传到群文件，
大家留意文件名称后面的日期。在线勘误地址：
http://note.youdao.com/noteshare?id=66f9dd707874e0428610502b45c074d9
（3）讨论群的群号获取地址（讨论群是付费群，群文件也有大量资料，大家可自愿决定是否入群）
http://note.youdao.com/noteshare?id=4997251d8219a45d56631e412b1e9392
（4）更多优质数学建模资料大家可关注我的微店店铺(微信扫右边二维
码进店)和b站网站获取。
https://space.bilibili.com/52614961
（5）配套的资源和代码可发给你的朋友或者队友一起交流，请不要上传
到公开的互联网上，版权归清风老师所有。
（未经授权将原创资料散播到互联网的行为是违规的哦）
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模型介绍
1
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评价类问题可用打分解决
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高考结束了，
我该选华科还是武大呢？
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评价类问题可用打分解决
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小明最关心大学里面的这四个方面：
学习氛围（0.4）
就业前景（0.3）
男女比例（0.2）
校园景色（0.1）
括号里面的数值表示小明认为的重要性程度（权重），其和为1。
注：本例子仅用于学习，大家可暂时忽略真实情况下应考虑到的更多细节（例如学校中的具体专业）。
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评价类问题可用打分解决
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学习氛围
注：本例子对涉及到的学校并无恶意，仅用于教学使用
（请观看到此视频的华科武大同学别吐槽哦）
0.7
0.3
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评价类问题可用打分解决
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就业前景
= = 0.5
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评价类问题可用打分解决
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男女比例
0.3 0.7
约为1.35:1
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评价类问题可用打分解决
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校园景色
华科玉兰
VS
武大樱花
0.25 0.75
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根据权重表格计算得分
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指标权重华科武大
学习氛围0.4 0.7 0.3
就业前景0.3 0.5 0.5
男女比例0.2 0.3 0.7
校园景色0.1 0.25 0.75
小明整理好了这张权重表格：
华科最终得分：0.515
0.7 × 0.4 + 0.5 × 0.3 + 0.3 × 0.2 + 0.25 ×0.1
武大最终得分：0.485
0.3 × 0.4 + 0.5 × 0.3 + 0.7 × 0.2 + 0.75 ×0.1
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华科最终得分：0.515
武大最终得分：0.485
由于华科分数高于武大，小明最终选择了华科。。。
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一个小小的总结
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使用打分法解决评价问题，只需要我们补充完成下面这张表格即可：
指标权重方案1 方案2 ……
指标1
指标2
指标3
……
指标权重华科武大
学习氛围0.4 0.7 0.3
就业前景0.3 0.5 0.5
男女比例0.2 0.3 0.7
校园景色0.1 0.25 0.75
同颜色的单元格的和为1，它们表示的针对某一因素
所占的权重。
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一道引出层次分析法的例题
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填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择
了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。
请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。
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一道引出层次分析法的例题
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填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择
了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。
请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。
评价类问题
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一道引出层次分析法的例题
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填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择
了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。
请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。
评价类问题
解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题：
① 我们评价的目标是什么？
② 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
③ 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）
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一道引出层次分析法的例题
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填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择
了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。
请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最合适的方案。
解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题：
① 我们评价的目标是什么？
答：为小明同学选择最佳的旅游景点。
② 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
答：三种，分别是去苏杭、去北戴河和去桂林。
③ 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）
答：题目没给相关数据支撑，需要我们确定。
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一道引出层次分析法的例题
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解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题：
① 我们评价的目标是什么？
答：为小明同学选择最佳的旅游景点。
② 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
答：三种，分别是去苏杭、去北戴河和去桂林。
③ 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）
答：题目没给相关数据支撑，需要我们查阅相关的资料。
一般而言，前两个问题的答案是显而易见的，第三个问题的答案
需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进
行结合，从中筛选出最合适的指标。
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优先选择知网（或者万方、百度学术、谷歌学术等平台）搜索相关的文献：
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大学生啦！
一定要知道知网哦。
为什么优先在别人发表的论文中寻找指标？
显得专业
另外，别人研究使用的方法你也可以借鉴
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假如你没找到相关的文献怎么办？
和小组成员来场头脑风暴
+
在平台上搜索别人或者专家的看法呗
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强烈推荐一个很腻害的网站：
虫部落-快搜： https://search.chongbuluo.com/
优先级：
. 谷歌搜索（国内进不去的话就使用百度搜索吧）
. 微信搜索
. 知乎搜索
例如本题我们可以搜索关键字：
旅游选择因素、根据什么因素选择旅游景点、旅游景点评价指标等
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假如我们查询了资料后选择了以下五个指标：
①景点景色
②旅游花费
③居住环境
④饮食情况
⑤交通便利程度
填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择
了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。
请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。
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解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题：
① 我们评价的目标是什么？
答：为小明同学选择最佳的旅游景点。
② 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
答：三种，分别是去苏杭、去北戴河和去桂林。
③ 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）
答：景色、花费、居住、饮食、交通。
脑洞：假如现在小明就在我们面前，我们要对他提
哪些问题才能帮他合理的做决定？
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还记得这张权重表格吗？
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指标权重苏杭北戴河桂林
景色
花费
居住
饮食
交通
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直接问权重的弊端
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有同学可能会想，直接叫小明填好这张表不就完事啦~
这样往往比较片面和不周全
（隔一天问他答案可能就变了）
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难
是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接
考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此
失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至
有可能提出一组隐含矛盾的数据。
——选自司守奎[kuí]老师的《数学建模算法与应用教材》
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分而治之的思想
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指标权重苏杭北戴河桂林
景色
花费
居住
饮食
交通
分而治之：我们先来确定指标的权重吧~
问题：
一次性考虑这五个指标之间的关系，往往考虑不周。
解决方法：
两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。
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层次分析法的思想登场
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如果用1-9表示重要程度（见下表），请你两两比较上述这五个指标对
于选择最终的旅游景点的重要性。
标度含义
1 表示两个因素相比，具有同样重要性
3 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
9 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
倒数A和B相比如果标度为3，那么B和A相比就是1/3
（注：这里的重要性有时候解释为满意度更方便理解）
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标度含义
1 同样重要性
3 稍微重要
5 明显重要
7 强烈重要
9 极端重要
2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
倒数A和B相比如果标度为3，
那么B和A相比就是1/3
景色花费居住饮食交通
景色1
花费1
居住1
饮食1
交通1
Q1: 根据右边这个表，请你比较景色和花费的重要程度。
A1: 我认为花费比景色略微重要(介于同等重要1和稍微重要3之间吧)
1/2
Q2: 根据右边这个表，请你比较景色和居住的重要程度。
A2: 我认为景色比居住要重要一点(介于稍微重要3和明显重要5之间吧)
4
2
1/4
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景色花费居住饮食交通
景色1 1/2 4 3 3
花费2 1 7 5 5
居住1/4 1/7 1 1/2 1/3
饮食1/3 1/5 2 1 1
交通1/3 1/5 3 1 1
就这样，小明回答了10次【组合数C(5,2) 】，你根据他所回
答的填好了上面这张表。
注：实际情况下没有小明帮我们回答，层次分析法中这张表是交给‘专家’
填的，具体我们等后面再说。
标度含义
1 同样重要性
3 稍微重要
5 明显重要
7 强烈重要
9 极端重要
2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
倒数A和B相比如果标度为3，
那么B和A相比就是1/3
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景色花费居住饮食交通
景色1 1/2 4 3 3
花费2 1 7 5 5
居住1/4 1/7 1 1/2 1/3
饮食1/3 1/5 2 1 1
交通1/3 1/5 3 1 1
标度含义
1 同样重要性
3 稍微重要
5 明显重要
7 强烈重要
9 极端重要
2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
倒数A和B相比如果标度为3，
那么B和A相比就是1/3
总结：上面这个表是一个5 × 5的方阵，我们记为A，对应的元素为.......
这个方阵有如下特点：
（1）......表示的意义是，与指标..相比，..的重要程度。
（2）当.. = ..时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1。
（3）...... > 0且满足...... × ...... = 1 （我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵）
实际上，上面这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵。
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景色花费居住饮食交通
景色1 1/2 4 3 3
花费2 1 7 5 5
居住1/4 1/7 1 1/2 1/3
饮食1/3 1/5 2 1 1
交通1/3 1/5 3 1 1
得到了判断矩阵，就可以计算出权重了。
具体方法我们稍后再讲。
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指标权重苏杭北戴河桂林
景色
花费
居住
饮食
交通
如何计算苏杭、北戴河与桂林在景色方面所占的权重（得分）呢？
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填写判断矩阵
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景色苏杭北戴河桂林
苏杭1 2 5
北戴河1/2 1 2
桂林1/5 1/2 1
标度含义
1 同样重要性
3 稍微重要
5 明显重要
7 强烈重要
9 极端重要
2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
倒数
A和B相比如果标度为3，
那么B和A相比就是1/3
Q1：你觉得苏杭的风景和北戴河相比如何？
A1：稍微好一点点吧（介于1-3之间）
Q2：你觉得苏杭的风景和桂林相比如何？
A2：要明显的好哦（5）
Q3：你觉得北戴河的风景和桂林相比如何？
A3：稍微好一点点吧（介于1-3之间）
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花费苏杭北戴河桂林
苏杭1 1/3 1/8
北戴河3 1 1/3
桂林8 3 1
居住苏杭北戴河桂林
苏杭1 1 3
北戴河1 1 3
桂林1/3 1/3 1
饮食苏杭北戴河桂林
苏杭1 3 4
北戴河1/3 1 1
桂林1/4 1 1
交通苏杭北戴河桂林
苏杭1 1 1/4
北戴河1 1 1/4
桂林4 4 1
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一个有可能出问题的地方：
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景色苏杭北戴河桂林
苏杭1 2 5
北戴河1/2 1 2
桂林1/5 1/2 1
标度含义
1 同样重要性
3 稍微重要
5 明显重要
7 强烈重要
9 极端重要
2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
倒数A和B相比如果标度为3，
那么B和A相比就是1/3
景色苏杭北戴河桂林
苏杭1 2 1
北戴河1/2 1 2
桂林1 1/2 1
苏杭= A 北戴河= B 桂林= C
苏杭比北戴河景色好一点A > B
苏杭和桂林景色一样好A = C
北戴河比桂林景色好一点B > C
出现了矛盾之处（不一致的现象）
（要是把左表中的2换成更大的数，那
么不一致会更加严重）
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一致矩阵
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景色苏杭北戴河桂林
苏杭1 2 4
北戴河1/2 1 2
桂林1/4 1/2 1
标度含义
1 同样重要性
3 稍微重要
5 明显重要
7 强烈重要
9 极端重要
2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
倒数A和B相比如果标度为3，
那么B和A相比就是1/3
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一致矩阵的例子
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景色花费居住饮食交通
景色1 1/2 4 3 3
花费2 1 8 6 6
居住1/4 1/8 1 3/4 3/4
饮食1/3 1/6 4/3 1 1
交通1/3 1/6 4/3 1 1
景色苏杭北戴河桂林
苏杭1 2 4
北戴河1/2 1 2
桂林1/4 1/2 1
观察上面这两个矩阵的特点：
各行（各列）之间成倍数关系
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一致矩阵
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景色苏杭北戴河桂林
苏杭1 2 5
北戴河1/2 1 2
桂林1/5 1/2 1
景色苏杭北戴河桂林
苏杭1 2 4
北戴河1/2 1 2
桂林1/4 1/2 1
若矩阵中每个元素...... > 0且满足...... × ...... = 1 ，则我们称该矩阵为正互反矩阵。
在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
若正互反矩阵满足...... × ...... = ......，则我们称其为一致矩阵。
注意：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。
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一致性检验
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原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。
下面的知识需要用到线性代数
的知识，没学过的同学可以忽
略掉证明过程，只需要了解如
何计算即可。
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景色苏杭北戴河桂林
苏杭1 2 4
北戴河1/2 1 2
桂林1/4 1/2 1
景色花费居住饮食交通
景色1 1/2 4 3 3
花费2 1 8 6 6
居住1/4 1/8 1 3/4 3/4
饮食1/3 1/6 4/3 1 1
交通1/3 1/6 4/3 1 1
计算可看：EIG_consistent_matrix.m
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若正互反矩阵（判断矩阵）满足...... × ...... = ......，则我们称其为一致矩阵。
景色苏杭北戴河桂林
苏杭1 2 a
北戴河1/2 1 2
桂林1/a 1/2 1
a = [1:1:8]
b = []
for i = 1:size(a,2)
A =
[1,2,a(i);1/2,1,2;1/a(i),1/2,1]
b = [b,max(eig(A))]
end
plot(a,b)
判断矩阵越不一致时，最大特征值与n相差就越大。
代码文件名称：PPT_1.m
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一致性检验的步骤
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第一步：计算一致性指标CI
第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
注：在实际运用中，n很少超过10，如果指标的个数大于10，则可考虑建立二级指标体系
第三步：计算一致性比例CR
如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对
判断矩阵进行修正。
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两个小问题
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（1）平均随机一致性指标RI怎么计算来的？
（2）为什么要这样构造CI，为什么要以0.1为划分依据？
大家有兴趣的话可以去查看作者的原论文，
作者是通过多次蒙特卡罗模拟得到的最佳的方案。
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一致矩阵怎么计算权重？
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景色苏杭北戴河桂林
苏杭1 2 4
北戴河1/2 1 2
桂林1/4 1/2 1
从简单的开始入手，先来看一致矩阵：
对于景色这点而言：（注：这里的重要性有时候解释为满意度更方便理解）
苏杭的重要性如果是1，那么北戴河的重要性就是1/2，桂林的重要性就是1/4.
注意，权重一定要进行归一化处理：
苏杭= 1 /（1+0.5+0.25）
北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.25）
桂林= 0.25 /（1+0.5+0.25）
标度含义
1 同样重要性
3 稍微重要
5 明显重要
7 强烈重要
9 极端重要
2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
倒数A和B相比如果标度为3，
那么B和A相比就是1/3
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判断矩阵计算权重
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景色苏杭北戴河桂林
苏杭1 2 5
北戴河1/2 1 2
桂林1/5 1/2 1
仅使用第一列的数据，计算出来的权重：
苏杭= 1 /（1+0.5+0.2）= 0.5882
北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.2）= 0.2941
桂林= 0.2 /（1+0.5+0.2）= 0.1177
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判断矩阵计算权重
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景色苏杭北戴河桂林
苏杭1 2 5
北戴河1/2 1 2
桂林1/5 1/2 1
仅使用第一列的数据，计算出来的权重：
苏杭= 1 /（1+0.5+0.2）= 0.5882
北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.2）= 0.2941
桂林= 0.2 /（1+0.5+0.2）= 0.1177
使用第二列的数据，计算出来的权重：
苏杭= 2 /（2+1+0.5）= 0.5714
北戴河= 1 /（2+1+0.5）= 0.2857
桂林= 0.5 /（2+1+0.5）= 0.1429
使用第三列的数据，计算出来的权重：
苏杭= 5 /（5+2+1）= 0.625
北戴河= 2 /（5+2+1）= 0.25
桂林= 1 /（5+2+1）= 0.125
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方法1：算术平均法求权重
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仅使用第一列的数据，计算出来的权重：
苏杭= 1 /（1+0.5+0.2）= 0.5882
北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.2）= 0.2941
桂林= 0.2 /（1+0.5+0.2）= 0.1177
使用第二列的数据，计算出来的权重：
苏杭= 2 /（2+1+0.5）= 0.5714
北戴河= 1 /（2+1+0.5）= 0.2857
桂林= 0.5 /（2+1+0.5）= 0.1429
使用第三列的数据，计算出来的权重：
苏杭= 5 /（5+2+1）= 0.625
北戴河= 2 /（5+2+1）= 0.25
桂林= 1 /（5+2+1）= 0.125
综合上述三列，我们求平均权重：
苏杭= (0.5882+0.5714+0.625)/3=0.5949
北戴河= (0.2941+0.2857+0.25)/3=0.2766
桂林= (0.1177+0.1429+0.125)/3=0.1285
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方法1：算术平均法求权重
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第一步：将判断矩阵按照列归一化
（每一个元素除以其所在列的和）
第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
景色苏杭北戴河桂林
苏杭1 2 5
北戴河1/2 1 2
桂林1/5 1/2 1
景色苏杭北戴河桂林
苏杭0.5882 0.5714 0.625
北戴河0.2941 0.2857 0.25
桂林0.1177 0.1429 0.125
未归一化的权重
苏杭0.5882+0.5714+0.625 = 1.7846
北戴河0.2941+0.2857+0.25=0.8298
桂林0.1177+0.1429+0.125=0.3856
权重
苏杭1.7846 / 3 = 0.5949
北戴河0.8298 / 3 = 0.2766
桂林0.3856 / 3 = 0.1285
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方法1：算术平均法求权重
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第一步：将判断矩阵按照列归一化
（每一个元素除以其所在列的和）
第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
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方法2：几何平均法求权重
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几何平均法求权重也有三步：
第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
第二步：将新的向量的每个分量开n次方
第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
算术平均法权重几何平均法权重
苏杭0.5949 0.5954
北戴河0.2766 0.2764
桂林0.1285 0.1283
注： 权重和应为1，这里由于四舍五入所以会有可以忽略的差距。
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方法3：特征值法求权重
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景色苏杭北戴河桂林
苏杭1 2 4
北戴河1/2 1 2
桂林1/4 1/2 1
注意，权重一定要进行归一化处理：
苏杭= 1 /（1+0.5+0.25）
北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.25）
桂林= 0.25 /（1+0.5+0.25）
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方法3：特征值法求权重
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假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。
第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
景色苏杭北戴河桂林
苏杭1 2 5
北戴河1/2 1 2
桂林1/5 1/2 1
最大特征值为3.0055 , 一致性比例CR = 0.0053
对应的特征向量：[-0.8902,-0.4132,-0.1918]
对其归一化：[0.5954,0.2764,0.1283]
算术平均法几何平均法特征值法
苏杭0.5949 0.5954 0.5954
北戴河0.2766 0.2764 0.2764
桂林0.1285 0.1283 0.1283
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将计算结果填入权重表
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指标权重苏杭北戴河桂林
景色0.5954 0.2764 0.1283
花费
居住
饮食
交通
算术平均法几何平均法特征值法
苏杭0.5949 0.5954 0.5954
北戴河0.2766 0.2764 0.2764
桂林0.1285 0.1283 0.1283
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代码演示（具体代码详讲在视频后半段）
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景色花费居住饮食交通
景色1 1/2 4 3 3
花费2 1 7 5 5
居住1/4 1/7 1 1/2 1/3
饮食1/3 1/5 2 1 1
交通1/3 1/5 3 1 1
算术平均法几何平均法特征值法
景色0.2623 0.2636 0.2636
花费0.4744 0.4773 0.4758
居住0.0545 0.0531 0.0538
饮食0.0985 0.0988 0.0981
交通0.1103 0.1072 0.1087
求左边这个判断矩阵的权重
代码文件名称：ccfx.m
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指标权重苏杭北戴河桂林
景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283
花费0.4758
居住0.0538
饮食0.0981
交通0.1087
算术平均法几何平均法特征值法
景色0.2623 0.2636 0.2636
花费0.4744 0.4773 0.4758
居住0.0545 0.0531 0.0538
饮食0.0985 0.0988 0.0981
交通0.1103 0.1072 0.1087
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花费苏杭北戴河桂林
苏杭1 1/3 1/8
北戴河3 1 1/3
桂林8 3 1
居住苏杭北戴河桂林
苏杭1 1 3
北戴河1 1 3
桂林1/3 1/3 1
饮食苏杭北戴河桂林
苏杭1 3 4
北戴河1/3 1 1
桂林1/4 1 1
交通苏杭北戴河桂林
苏杭1 1 1/4
北戴河1 1 1/4
桂林4 4 1
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汇总结果得到权重矩阵
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指标权重苏杭北戴河桂林
景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283
花费0.4758 0.0819 0.2363 0.6817
居住0.0538 0.4286 0.4286 0.1429
饮食0.0981 0.6337 0.1919 0.1744
交通0.1087 0.1667 0.1667 0.6667
我们可以得到使用特征值法求得的权重矩阵，根据此矩阵，
我们可以计算出每个旅游景点的得分。
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计算各方案的得分
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指标权重苏杭北戴河桂林
景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283
花费0.4758 0.0819 0.2363 0.6817
居住0.0538 0.4286 0.4286 0.1429
饮食0.0981 0.6337 0.1919 0.1744
交通0.1087 0.1667 0.1667 0.6667
苏杭得分：
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类似的，我们可以得到北戴河得分为0.245，
桂林得分为0.455.
因此最佳的旅游景点是桂林。
这里用EXCEL计算可大大减轻工作量哦。
文件：根据权重矩阵计算得分.xlsx
要点： F4可以锁定单元格
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层次分析法
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层次分析法（The Analytic Hierarchy Process即AHP)是由美国运筹学家、
匹兹堡大学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合
评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解
决了定性问题定量化的处理过程。
AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因
素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重
要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大
地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把
复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次
结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体
现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避
决策者主观判断的缺点。
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三个问题对我们的启发
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填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择
了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。
请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。
解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题：
① 我们评价的目标是什么？
答：为小明同学选择最佳的旅游景点。
② 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
答：三种，分别是去苏杭、去北戴河和去桂林。
③ 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）
答：景色、花费、居住、饮食、交通。
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层次分析法第一步
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1.分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构.
选择旅游地
(O)
景色（C1） 花费（C2) 居住（C3) 饮食（C4) 交通（C5)
苏杭（P1） 北戴河（P2） 桂林（P3）
目标层
Objective
准则层
Criterion
方案层
Plan
图1.1.旅游地选择层次结构图
注意：如果你用到了层次分析法，那么这个层次结构图要放在你的建模论文中哦。
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使用SmartArt生成
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选择最佳旅游地(O)
景色（C1）
花费（C2)
居住（C3)
饮食（C4)
交通（C5)
苏杭（P1）
北戴河（P2）
去桂林（P3）
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使用专业软件：亿图图示
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简单演示：
（1）新建组织结构图——自定义组织结构图
（2）1个长方形方格，并复制出8个和它同大小的长方形
（3）将这9个长方形排成3行（1+5+3）
（4）使用对齐和分布这两个功能让它们排列的有序
（5）选择文本工具，在这些长方形里面输入文字
（6）使用箭头连接线工具中的直线连接上这些长方形
（7）保存后选择文件——导出&发送——Word
（8）将Word中的图像复制到你的论文中即可，别忘了加上标题。
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层次分析法第二步
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2. 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要
性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。
选择旅游地
(O)
景色（C1） 花费（C2) 居住（C3) 饮食（C4) 交通（C5)
苏杭（P1） 北戴河（P2） 桂林（P3）
目标层
Objective
准则层
Criterion
方案层
Plan
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构造判断矩阵
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O C1 C2 C3 C4 C5
C1 1 1/2 4 3 3
C2 2 1 7 5 5
C3 1/4 1/7 1 1/2 1/3
C4 1/3 1/5 2 1 1
C5 1/3 1/5 3 1 1
左边这个矩阵的名称是：
判断矩阵O — C
任何评价类模型都具有主观性：
理想：采用专家群体判断
现实：几乎都是自己填的
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看看优秀论文的做法吧
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【2008年国赛B题一等奖】关于高等教育学费标准的评价及建议
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看看优秀论文的做法吧
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[2016年国赛MATLAB创新奖B题]中国人民大学-小区开放道路通行影响
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C1 P1 P2 P3
P1 1 2 4
P2 1/2 1 2
P3 1/4 1/2 1
C2 P1 P2 P3
P1 1 1/3 1/8
P2 3 1 1/3
P3 8 3 1
C3 P1 P2 P3
P1 1 1 3
P2 1 1 3
P3 1/3 1/3 1
C4 P1 P2 P3
P1 1 3 4
P2 1/3 1 1
P3 1/4 1 1
C5 P1 P2 P3
P1 1 1 1/4
P2 1 1 1/4
P3 4 4 1
判断矩阵C1-P 判断矩阵C2-P 判断矩阵C3-P 判断矩阵C4-P 判断矩阵C5-P
准则层—方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写，如果题目中有其他数据，
可以考虑利用这些数据进行计算。
例如：有一个指标是交通安全程度，现在要比较开放小区、半开放小区和封闭小区，而且
你收集到了这些小区车流量的数据，那么就可以根据这个数据进行换算作为你的判断矩阵。
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层次分析法第三步
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3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，
并进行一致性检验（检验通过权重才能用）.
三种方法计算权重：
（1）算术平均法（2）几何平均法（3）特征值法
强烈建议大家在比赛时三种方法都使用：
以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法
求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的
稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重，再根据得到的权重矩阵
计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法
所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。
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一致性检验的步骤
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第一步：计算一致性指标CI
第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
注：在实际运用中，n很少超过10，如果指标的个数大于10，则可考虑建立二级指标体系
第三步：计算一致性比例CR
如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对
判断矩阵进行修正。
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CR > 0.1 如何修正？
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景色苏杭A 北戴河B 桂林C
苏杭A 1 2 1
北戴河B 1/2 1 2
桂林C 1 1/2 1
往一致矩阵上调整~~~
一致矩阵各行成倍数关系
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层次分析法第四步
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4 . 计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。
指标权重方案1 方案2 ……
指标1
指标2
指标3
……
权重矩阵
指标权重苏杭北戴河桂林
景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283
花费0.4758 0.0819 0.2363 0.6817
居住0.0538 0.4286 0.4286 0.1429
饮食0.0981 0.6337 0.1919 0.1744
交通0.1087 0.1667 0.1667 0.6667
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层次分析法的一些局限性
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（1）评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异
可能会很大。
平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15。
（2）如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得
评价的更加准确呢？
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
学生加权成绩工时数课外竞赛得分
蒋虹89.7 32 5
时迎春86.5 20 4
…… …… …… ……
陶访枫87.9 12 9
梁冷安90.1 10 6
姜秀芳82.6 12 3
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代码详解
2
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温馨提示
代码讲解部分针对的是Matlab新手哦~
如果你Matlab已经学的很不错，可以跳
过这部分哦，直接看代码即可。
文件：ccfx_base.m和ccfx_Learn
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本节代码部分知识点索引
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1. Matlab基本的小常识
分号的作用、注释的快捷键、clc和clear、disp和input
2. sum函数
3. Matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？
4. size函数
5. repmat函数
6. Matlab中矩阵的运算(加点和不加点)
7. Matlab中求特征值和特征向量
8. find函数的基本用法
9. 矩阵与常数的大小判断运算
10. 判断和循环语句
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模型拓展
3
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企业资金分配问题.pdf
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层次分析法在太阳镜产品质量评价中的应用.pdf
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课后练习
4
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课后训练
92 / 94
代码优化：
（1）请对代码进行优化，例如输入判断矩阵A时，是否能自动检查
矩阵A是否为正互反矩阵？
（2）如果我们输入的是一个二阶的判断矩阵，请观察结果有什么问
题？怎么改进代码来修正这个问题。
论文写作训练：
题目来源：姜启元《数学建模》第四版
也可以自选题目，你感兴趣的评价类问题都行。
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注意事项
93 / 94
注意：论文的格式可参考：全国大学生数学建模竞赛论文模板.doc
层次分析法模型交流群：821245457
加群需要正确回答问题，层次分析法的英文缩写：AHP
课件、代码以及拓展的文档等全部会发到群文件，
请大家自己下载学习。
作业大家打包后私发给群主（清风）即可。
（交了作业的同学我有时间会帮你们看的哦
会给你们相应的评价和建议）
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下一讲预告：TOPSIS法
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题目：评价下表中20条河流的水质情况。
注：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；细菌总数越少越好；植物性营养物量介于10-20之间最佳，超
过20或低于10均不好。
注：数据是我随手编的，仅用于讲解相应的算法，可能有不合理之处，请见谅。
河流含氧量（ppm) PH值细菌总数(个/mL) 植物性营养物量（ppm)
A 4.69 6.59 51 11.94
B 2.03 7.86 19 6.46
C 9.11 6.31 46 8.91
D 8.61 7.05 46 26.43
E 7.13 6.5 50 23.57
F 2.39 6.77 38 24.62
G 7.69 6.79 38 6.01
H 9.3 6.81 27 31.57
I 5.45 7.62 5 18.46
J 6.19 7.27 17 7.51
K 7.93 7.53 9 6.52
L 4.4 7.28 17 25.3
M 7.46 8.24 23 14.42
N 2.01 5.55 47 26.31
O 2.04 6.4 23 17.91
P 7.73 6.14 52 15.72
Q 6.35 7.58 25 29.46
R 8.29 8.41 39 12.02
S 3.54 7.27 54 3.16
T 7.44 6.26 8 28.41
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清风老师数学建模视频课程第1讲层次分析法
