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问题
问题实例
问题分析
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确定指标为：
景点景色，旅游花费，居住环境，饮食情况，交通便利程度
建立层次分析法模型
分析权重的方法
填表指标的权重
同理得到方案的权重的判断矩阵（例子）
一致性检验
一致性检验的引入
矩阵的秩为1时，其一特征值为对角线之和，其余特征值为0
一致性检验的步骤
计算判断矩阵
归一化处理
每一行除以其所在列的和
算术平均法求权重
几何平均法求权重
特征值法求权重（常用）
汇总结果，得出结论
得出权重矩阵
计算得分
在此处使用EXCEL可以简化计算
技巧：F4可以锁定计算用的对应单元格
得出结论
比较三者的得分
代码部分
以下代码均来自数模清风课
Matlab入门知识
%% Matlab基本的小常识
% (1)在每一行的语句后面加上分号(一定要是英文的哦;中文的长这个样子；)表示不显示运行结果
a = 3;
a = 5
% (2)多行注释:选中要注释的若干语句,快捷键Ctrl+R
% (3)取消注释:选中要取消注释的语句,快捷键Ctrl+T
% clear可以清楚工作区的所有变量
clear
% clc可以清除命令行窗口中的所有文本,让屏幕变得干净
clc
% 所以大家在很多代码开头，都会见到:
clear;clc % 分号也用于区分行。
% 这两条一起使用，起到“初始化”的作用，防止之前的结果对新脚本文件（后缀名是 .m）产生干扰。4
%% 输出和输入函数(disp 和 input)
% matlab中disp()就是屏幕输出函数，类似于c语言中的printf（）函数
disp('我是清风，大家好鸭~~~记得投币关注我哦')
disp(a)
% 注意，disp函数比较特殊，这里可要分号，可不要分号哦
disp(a);
% matlab中两个字符串的合并有两种方法
% （1）strcat(str1,str2……,strn)
strcat('字符串1','字符串2')
% （2）[str 1,str 2，……, str n]或[str1 str2 …… strn]
['字符串1' '字符串2']
['字符串1','字符串2']
% 一个有用的字符串函数：num2str 将数字转换为字符串
c = 100
num2str(c)
disp(['c的取值为' num2str(c)])
disp(strcat('c的取值为', num2str(c)))
% input函数
% 一般我们会将输入的数、向量、矩阵、字符串等赋给一个变量，这里我们赋给A
A = input('请输入A：');
B = input('请输入B：')
% 注意观察工作区，并体会input后面加分号和不加分号的区别
%% sum函数
% （1）如果是向量（无论是行向量还是列向量），都是直接求和
E = [1,2,3]
sum(E)
E = [1;2;3]
sum(E)
% （2）如果是矩阵，则需要根据行和列的方向作区分
clc
E = [1,2;3,4;5,6]
% a=sum(x); %按列求和(得到一个行向量）
a = sum(E)
a = sum(E,1)
% a=sum(x,2); %按行求和(得到一个列向量）
a = sum(E,2)
% a=sum(x(:));%对整个矩阵求和
a = sum(sum(E))
a = sum(E(:))
%% 基础：matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？
% （1）取指定行和列的一个元素（输出的是一个值）
clc;A=[1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1];
A
A(2,1)
A(3,2)
% （2）取指定的某一行的全部元素（输出的是一个行向量）
clc;A
A(2,:)
A(5,:)
% （3）取指定的某一列的全部元素（输出的是一个列向量）
clc;A
A(:,1)
A(:,3)
% （4）取指定的某些行的全部元素（输出的是一个矩阵）
clc;A
A([2,5],:) % 只取第二行和第五行（一共2行）
A(2:5,:) % 取第二行到第五行（一共4行）
A(2:2:5,:) % 取第二行和第四行 （从2开始，每次递增2个单位，到5结束）
1:3:10
10:-1:1
A(2:end,:) % 取第二行到最后一行
A(2:end-1,:) % 取第二行到倒数第二行
% （5）取全部元素(按列拼接的，最终输出的是一个列向量)
clc;A
A(:)
%% size函数
clc;
A = [1,2,3;4,5,6]
B = [1,2,3,4,5,6]
size(A)
size(B)
% size(A)函数是用来求矩阵A的大小的,它返回一个行向量，第一个元素是矩阵的行数，第二个元素是矩阵的列数
[r,c] = size(A)
% 将矩阵A的行数返回到第一个变量r，将矩阵的列数返回到第二个变量c
r = size(A,1) %返回行数
c = size(A,2) %返回列数
%% repmat函数
% B = repmat(A,m,n):将矩阵A复制m×n块，即把A作为B的元素，B由m×n个A平铺而成。
A = [1,2,3;4,5,6]
B = repmat(A,2,1)
B = repmat(A,3,2)
%% Matlab中矩阵的运算
% MATLAB在矩阵的运算中，“*”号和“/”号代表矩阵之间的乘法与除法(A/B = A*inv(B))
A = [1,2;3,4]
B = [1,0;1,1]
A * B
inv(B) % 求B的逆矩阵
B * inv(B)
A * inv(B)
A / B
% 两个形状相同的矩阵对应元素之间的乘除法需要使用“.*”和“./”
A = [1,2;3,4]
B = [1,0;1,1]
A .* B
A ./ B
% 每个元素同时和常数相乘或相除操作都可以使用
A = [1,2;3,4]
A * 2
A .* 2
A / 2
A ./ 2
% 每个元素同时乘方时只能用 .^
A = [1,2;3,4]
A .^ 2
A ^ 2
A * A
%% Matlab中求特征值和特征向量
% 在Matlab中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),其中最常用的两个用法：
A = [1 2 3 ;2 2 1;2 0 3]
% （1）E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
E=eig(A)
% （2）[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。（V的每一列都是D中与之相同列的特征值的特征向量）
[V,D]=eig(A)
%% find函数的基本用法
% 下面例子来自博客：https://www.cnblogs.com/anzhiwu815/p/5907033.html 博客内有更加深入的探究
% find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
clc;X = [1 0 4 -3 0 0 0 8 6]
ind = find(X)
% 其有多种用法，比如返回前2个不为0的元素的位置：
ind = find(X,2)
%上面针对的是向量（一维），若X是一个矩阵（二维，有行和列），索引该如何返回呢？
clc;X = [1 -3 0;0 0 8;4 0 6]
ind = find(X)
% 这是因为在Matlab在存储矩阵时，是一列一列存储的，我们可以做一下验证：
X(4)
% 假如你需要按照行列的信息输出该怎么办呢？
[r,c] = find(X)
[r,c] = find(X,1) %只找第一个非0元素
%% 矩阵与常数的大小判断运算
% 共有三种运算符：大于> ;小于< ;等于 == （一个等号表示赋值；两个等号表示判断）
clc
X = [1 -3 0;0 0 8;4 0 6]
X > 0
X == 4
%% 判断语句
% Matlab的判断语句，if所在的行不需要冒号，语句的最后一定要以end结尾 ；中间的语句要注意缩进。
a = input('请输入考试分数:')
if a >= 85
disp('成绩优秀')
elseif a >= 60
disp('成绩合格')
else
disp('成绩挂科')
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
本文例题代码计算部分
%% 输入判断矩阵
clear;clc
disp('请输入判断矩阵A： ')
% A = input('判断矩阵A=')
A =[1 1 4 1/3 3;
1 1 4 1/3 3;
1/4 1/4 1 1/3 1/2;
3 3 3 1 3;
1/3 1/3 2 1/3 1]
% matlab矩阵有两种写法，可以直接写到一行:
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 也可以写成多行:
[1 1 4 1/3 3;
1 1 4 1/3 3;
1/4 1/4 1 1/3 1/2;
3 3 3 1 3;
1/3 1/3 2 1/3 1]
% 两行之间以分号结尾（最后一行的分号可加可不加），同行元素之间以空格（或者逗号）分开。
%% 方法1：算术平均法求权重
% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
Sum_A = sum(A)
[n,n] = size(A) % 也可以写成n = size(A,1)
% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1) %repeat matrix的缩写
% 另外一种替代的方法如下：
SUM_A = [];
for i = 1:n %循环哦，这一行后面不能加冒号（和Python不同），这里表示循环n次
SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可
% 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)
% 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先对标准化后的矩阵按照行求和，得到一个列向量
% 然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可（注意这里也可以用./哦）
%% 方法2：几何平均法求权重
% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加 dim = 2 维度是行
% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 这里对每个元素进行乘方操作，因此要加.号哦。 ^符号表示乘方哦 这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方
% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
%% 方法3：特征值法求权重
% 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A) %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。
% 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
V(:,c)
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。
%% 计算一致性比例CR
clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end
%%注意以上代码，一致性检验在最后，实际上应该提前撰写论文部分
他人的例子（选自2016创新奖B题）
一些技巧
1.在求权重时用三种方法可以避免出错，写进论文里一笔带过可能也会加点评委分。
2.关于作图软件，推荐亿图图示（以本文题例） 
3.若没有通过一致性检验则需要对假设的数据进行调整，向判断矩阵行列成比例上调整
4.评价层标准不宜太多，太多可能会导致一致性检验难以通过。若N为2，可以把表中2对应数据近似为0.001来代入公式。
5.在excel用公式计算单元格之间的值时，按F4可以锁定公式中锁定的单元格，有助于将公式推广到此后的单元格