【Lintcode】95. Validate Binary Search Tree

题目地址：

https://www.lintcode.com/problem/validate-binary-search-tree/description

判断一棵二叉树是否是BST。

可以用DFS。每访问一个节点的时候，只需注意到其值的范围可以被其父亲节点的值的范围完全确定，所以我们只需将值的范围作为参数在DFS的时候一层一层向下传递即可。代码如下：

public class Solution {
    /**
     * @param root: The root of binary tree.
     * @return: True if the binary tree is BST, or false
     */
    public boolean isValidBST(TreeNode root) {
        // write your code here
        if (root == null) {
            return true;
        }
        // 为避免树中有Integer.MIN_VALUE和Integer.MAX_VALUE这样的值，
        // 这里用Long的最大和最小做参数
        return dfs(root, Long.MIN_VALUE, Long.MAX_VALUE);
    }
    
    // 边DFS边判断root的范围是否在(lower, upper)之间
    private boolean dfs(TreeNode root, long lower, long upper) {
        if (root == null) {
            return true;
        }
        if (root.val <= lower || root.val >= upper) {
            return false;
        }
        
        return dfs(root.left, lower, root.val) && dfs(root.right, root.val, upper);
    }
}

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left, right;
    TreeNode(int x) {
        val = x;
    }
}

时间复杂度 $O(n)$，空间 $O(h)$。

算法正确性证明：
按节点的深度做数学归纳法。对深度为 $0$的节点也就是树根，显然root的值可以任意取，这样判断的检验结果是正确的。假设对深度为 $k$的节点的检验都是对的，当DFS到深度为 $k+1$的节点时，如果这个节点 $x$是其父亲的左孩子，那么 $x$的上界显然是其父亲的值，而对于下界，其下界应该与其父亲相同，如果其父亲的下界是无穷小，那么显然正确；否则的话，对于其下界 $y$，从 $x$向上追溯，一定能追溯到将 $y$作为其右子树的下界传递下来的那个节点，也就是说 $x$是这个节点的右子树的一个节点，那么其下界当然就是 $y$，结论也对。对于别的情况也可以类似证明。由数学归纳法，对每层节点的检验方法都是对的。证明完毕。