Leetcode 0/1背包问题
什么是背包问题？比如有n个物品，它们有各自的体积和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？（0/1背包问题就是这n个物品中某一个物品选还是不选，分别表示1和0）
**题目描述：**比如有n个物品，它们有各自的体积w和价值v，现有给定容量的背包bagV，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？
解题步骤：
在解决问题之前，为描述方便，首先定义一些变量：Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积，定义V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值，同时背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 个物品选或不选）。
1、建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；
2、寻找约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；
3、寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：
包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；
还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝。
其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)，但价值增加了v(i)；
4、填表，首先初始化边界条件，V(0,j)=V(i,0)=0；V[i,v]是说从前i个物品中挑出物品，将他们放入体积为v的背包可以获得的最大价值。V[0,1…n]. 可以看做是从前0个物品中挑选，放入体积分别为0,1，…,n的背包。f[0,1…n]可以看做是最简化的01背包问题了。
然后一行一行的填表：
如，i=1，j=1，w(1)=2，v(1)=3，有j<w(1)，故V(1,1)=V(1-1,1)=0；
又如i=1，j=2，w(1)=2，v(1)=3，有j=w(1),故V(1,2)=max｛
V(1-1,2)，V(1-1,2-w(1))+v(1) ｝=max｛0，0+3｝=3；
5、输出，表格填完，最优解即V(number,capacity)=V(4,8)=10。
代码：
public class test1 {
public static void main(String[] args) {
test1 t1 = new test1();
int[] w = { 0 , 2 , 3 , 4 , 5 }; //商品的体积2、3、4、5
int[] v = { 0 , 3 , 4 , 5 , 6 }; //商品的价值3、4、5、6
int bagV = 8; //背包大小
System.out.println(t1.knapsack(w, v, bagV));
}
public int knapsack(int[] w,int[] v,int bagV) {
int[][] dp = new int[w.length][bagV+1]; //动态规划表,其中i表示物品，j表示剩余的容积
for (int i = 1; i < w.length; i++) {
for (int j = 1; j <= bagV; j++) {
//如果待添加的元素体积大于背包剩余体积，则取剩余体积为上一个体积
if(j < w[i]) {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
//如果不大于剩余体积，则取待添加物品 加入或不加入背包后的最大值
else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
}
return dp[w.length-1][bagV];
}
}
