python机器学习手写算法系列——贝叶斯优化 Bayesian Optimization

Bayesian Optimization 贝叶斯优化在无需求导的情况下，求一个黑盒函数的全局最优解的一系列设计策略。（Wikipedia）

最优解问题

最简单的，获得最优解的方法，就是网格搜索Grid Search了。

如果网格搜索开销稍微有点大，可以尝试随机搜索Random Search。

如果是凸函数Convex Function，我们可以用Gradient Descent。大量的机器学习算法，都用了这个。如线性回归，逻辑回归等。

如果，这个黑盒函数的开销非常大，又不是凸函数，我们则考虑贝叶斯优化。

贝叶斯优化概念

贝叶斯优化我们把这个黑盒函数叫做目标函数Objective Function。因为目标函数的开销大，我们要给他找一个近似函数，这个函数叫代理函数Surrogate Function。代理函数会计算出一条平均值曲线和对应的标准差（Standard Deviation）。有个代理函数，我们就可以找到一下个探索点。这个过程，用一个获取函数Acquisition Function里实现。

贝叶斯优化，是在一个特定的搜索空间search space展开的。

整个过程如下：

1. 在搜索空间中，选几个初始点X
2. 用目标函数计算初始点X对应的解y
3. 更新代理函数
4. 通过acquisition function获得下一个样本点。
5. Goto 2

中英文流程图如下：

代理函数，一般就是用Gussian Process。

Acquisition Function的选择比较多。常见的有：

1. Probability of Improvement (PI).
2. Expected Improvement (EI).
3. Upper/Lower Confidence Bound (LCB/UCB).

这里我们用 UCB.

$a_{ucb}(x;\beta) =\mu(x) + \beta\sigma(x)$

$\beta>0$，是权重，调节平均值和标准差的重要程度。这是一个 exploitation vs exploration的问题。平均值为exploitation，标准差为exploration。

代码

首先，我们定义搜索空间为[0,1]，目标函数为：

def objective(x):
    return ((x-0.47)**2 * math.sin(3 * x))

如下图

这里，我故意弄了两个局部最优，这样，就不能用Gradient Decent求解了。

代理函数，直接用了sklearn里面的Gussian Process

surrogate = GaussianProcessRegressor()

Acquisition 函数，用了UCB。beta这里就不研究了。

#uppper confidence bound
#beta = 1
def acquisition(X, surrogate):
    yhat, std = surrogate.predict(X, return_std=True)
    yhat=yhat.flatten()
    upper=yhat+std
    max_at=np.argmax(upper)
    return X[max_at]

初始的时候，样本选择了搜索空间的两个极值。即[0,1]。这时，代理函数是一条直线，std中间大，两边小。acquisition 函数选择了0.55（上面那条虚线的最大值，投影到目标函数）作为下一个探索点。

这时，我们有了三个样本点了。代理函数和下一个样本点（next sample）如下：

继续迭代：

经过四次迭代，我们找到了最大值0.0811051。

用Hyperopt解Bayesian Optimization

Hyperopt只能求最小值，我们在目标函数前面加个负号就行了。

from hyperopt import fmin, tpe, hp
best = fmin(
    fn=lambda x:-objective(x),
    space=hp.uniform('x', 0, 1),
    algo=tpe.suggest,
    max_evals=100)
print(best)

一百次迭代以后的最大值是0.08111392201180685

源代码地址：

https://github.com/juwikuang/machine_learning_step_by_step/blob/master/bayesian_optimization.ipynb

项目地址：

https://github.com/juwikuang/machine_learning_step_by_step