简要题意：
给定一个 \(3 \times 3\) 的矩阵，每次可以把空格旁边（四方向）的一个位置移到空格上。求到目标状态的最小步数。
前置知识：
- 深度优先搜索（\(\texttt{dfs}\)）.
将这题作为 宽度优先搜索（\(\texttt{bfs}\)） 的模板题讲解！
首先，众所周知 \(\texttt{dfs}\) 的搜索树类似于这样：
其中，每个矩形都是一个状态，上面的数字是 时间戳（即搜索编号） ，红色的表示往下搜索，绿色的表示往上回溯。
\(\texttt{dfs}\) 大致分为 \(3\) 步：
-
从当前状态开始，依次搜索子状态，进入第 \(2\) 步。
-
如果当前状态 所有子状态都搜完了 或者 没有子状态，那么结束当前搜索，回溯至第 \(1\) 步。
-
找到答案即立刻一层层回溯结束；否则搜完所有状态返回无解。
你会发现，对于本题，如果你用 \(\texttt{dfs}\)，你不知道深度是多少，很有可能超时。（当然 记忆化 可以加快，但还是容易超时）因为 \(\texttt{dfs}\) 是 盲目搜索，直到当前状态搜完为止。那么，极有可能把所有状态都搜一遍。（即 \(9! = 362880\)）这是极其危险的！
下面引出一个概念：\(\texttt{bfs}\).
求最小步数 / 最优解的情况下，\(\texttt{bfs}\) 一般比 \(\texttt{dfs}\) 要来的优。
先给出一个搜索状态图：
你会发现，\(\texttt{bfs}\) 的搜索是一层层搜的，即宽度优先的，并且没有任何回溯的过程。
而且，\(\texttt{bfs}\) 存在性质：
-
第一次到达的一定是最优的。（这是革命的本钱，没有它 \(\texttt{bfs}\) 就和 \(\texttt{dfs}\) 降为一样效率了）
-
一个状态保证只搜一次。（因为第一次是最优的，后面来的都是劣的，所以直接 开哈希剪枝。）
那么你会说：我们怎么实现呢？
用 \(\text{queue}\) 队列来实现，步骤如下：
-
将开始状态入队。
-
取出队首作为当前状态，把所有 当前状态能扩展出去的状态 都入队，并且做好哈希。然后 当前状态出队。
-
找到答案立刻停止搜索（因为性质 \(1\) 的存在可以这样做），否则搜完返回无解。
这样，先献出一段 \(\texttt{bfs}\) 的一般情况下的伪代码：
q.push(make_pair(x,y)); //x 是状态，y 是步数
h[x]=1; //哈希
while(!q.empty()) {
int t=q.front().x , step=q.front().y;
q.pop(); //取出队首，然后出队
for(/*枚举 t 能到达的状态 v*/)
if(!h[v]) {
h[v]=1; q.push(make_pair(v,step+1)); //哈希，入队
if(v == end) {printf("%d\n",step+1);return;} //搜到答案
}
} puts(/*无解情况*/); //搜完没有答案即无解
那么，比较两种搜索，你会发现：
-
如果 一定把所有情况搜完 ，那么 \(\texttt{dfs}\) 和 \(\texttt{bfs}\) 一样，都是遍历一遍。
-
如果 深度极深，但答案并不大，那么 \(\texttt{bfs}\) 的 宽度优先 策略会更优。
-
如果 深度、宽度相当 ，那么 \(\texttt{dfs}\) 和 \(\texttt{bfs}\) 效率一样，但 \(\texttt{dfs}\) 的代码相对简洁。（只是相对，因为一般新手会认为 \(\texttt{dfs}\) 更简单，不过写熟了都一样）
-
如果 深度极深，宽度极宽，那么两种搜索都不优时，我们就需要用 双向宽搜 或者 迭代加深搜索（即 \(\texttt{IDA*}\)） 再或者 \(\texttt{A*}\) 搜索 进行优化。（不过本题不用）
说了这么多，来研究这道题目。
-
状态：字符串，即矩阵。
-
答案：即记录步数。
-
哈希：用 \(\text{map}\) 实现字符串哈希。
-
队列：开结构体解决问题，写函数打包。
-
状态转移：将字符串的第 \(i\) 位（这里 \(0 \leq i \leq 8\)）对应矩阵的 \(\lfloor \frac{i}{3} \rfloor\) 行，\(i \% 3\) 列，在矩阵上转移，然后再转回字符串。
时间复杂度：\(O(9! \times 9 \times \log (9!)) =O(3 \times 10^5 \times 9 \times 18) = O(1.6 \times 10^7)\)，可以通过。
解释：\(9!\) 是遍历状态，\(9\) 是转移状态，\(\log\) 是因为我们用了 \(\text{map}\).（如果用 康托展开 进行优化哈希，那么可以达到 \(O(9! \times 9) = O(3.2 \times 10^6)\)，会更优些）
实际得分：\(100pts\).
时间：\(2.76s\).（并不快，但是最慢的一个点是 \(257ms\)，可以接受）
空间：\(14.52MB\).（并不大）
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
struct node {
string s; int step;
};
//const int dx[4]={1,-1,3,-3};
const int dx[4]={0,0,1,-1};
const int dy[4]={-1,1,0,0}; //四方向矩阵转移
queue<node> q;
map<string,bool> h;
string start,end="123804765";
inline node mp(string s,int step) {
node t; t.s=s; t.step=step;
return t;
} //结构体打包函数
inline int find(string s) {
for(int i=0;i<s.size();i++)
if(s[i]=='0') return i;
} //找到 0 的位置
inline void bfs() {
q.push(mp(start,0)); h[start]=1;
if(start==end) {puts("0");return;} //防止一开始就到终点
while(!q.empty()) {
string s=q.front().s;
int step=q.front().step;
// cout<<s<<" "<<step<<endl;
q.pop(); int wz=find(s); //找到 0 的位置
int x=wz/3,y=wz%3;
for(int i=0;i<4;i++) {
int nx=x+dx[i],ny=y+dy[i];
if(nx<0 || nx>2 || ny<0 || ny>2) continue;
swap(s[nx*3+ny],s[wz]); //交换
if(!h[s]) {
h[s]=1; q.push(mp(s,step+1));
if(s==end) {printf("%d\n",step+1);return;}
} swap(s[nx*3+ny],s[wz]); //记得换回去，不要影响后面的转移
}
}
}
int main(){
cin>>start;
bfs(); //搜索
return 0;
}