P6269 [SHOI2002]空中都市 题解

博客园同步

原题链接

简要题意：

求在 $n$ 个点中满足每 $3$ 个点不两两有边的最多边数。

首先，这题 $\text{dp}$ 没有头绪，所以只能手动找规律。

$\texttt{n}$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$\texttt{ans}$	$0$	$0$	$1$	$2$	$4$	$6$	$9$

如果你不明白，这里给出 $n>3$ 的所有构造图（ $n \leq 3$ 就不用画图了吧）

$n=4$ 时答案为 $4$:

$n=5$ 时答案为 $6$:

$n=6$ 时答案为 $9$:

所以，我们在看一眼这个表格：

$\texttt{n}$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$\texttt{ans}$	$0$	$0$	$1$	$2$	$4$	$6$	$9$

然后，因为我们觉得可以 $O(1)$ 用公式计算，盲猜它次数应该不会超过 $4$ 次，所以就假设答案 $f_x = ax^4 + bx^3 + cx^2+dx+ e$.

然后得到方程组：

$\begin{cases} a + b + c + d + e = 0 \\ 16a + 8b + 4c + 2d + e = 1 \\ 81a + 27b + 9c + 3d + e = 2 \\ 256a + 64b + 16c + 4d + e = 4 \\ 625a + 125b + 25c + 5d + e = 6 \\ 1256a + 216b + 36c + 6d + e = 9 \end{cases}$

（好像还多了一道方程）

你发现答案 近似 为：

$\begin{cases} a=0 \\ b=0 \\ c=\frac{1}{4} \\ d=0 \\ e=0 \end{cases}$

即答案为 $\bigg( \frac{ n^2}{4} \bigg )$.

你整理一下发现，答案其实是：

$\bigg \lfloor \frac{n^2}{4} \bigg \rfloor$

然后你就用 $O(1)$ 解决了问题。

下面给出一个 严谨 一点的解法。

下面资料来自 百度百科——托兰定理

设 $A$ 为 $N$ 个点中，向外连线最多的点，设它向外连 $k$ 条线，则与 $A$ 相连的点之间不允许连线

而剩余 $N-1-k$ 中的任意一点不可能向外连线数大于 $k$，设这些点连线总数为 $y$，则有

$y≤k（N-1-k）+k$

$y≤-k^2+Nk=-(k-N/2)^2+ \lfloor N^2/4 \rfloor$

当 $k= \lfloor N/2 \rfloor$ 时， $y$ 是整数，所以 $y$的最大值为 $\lfloor N^2/4 \rfloor$

所以 $y≤ \lfloor N^2/4 \rfloor$

得证。

时间复杂度： $O(1)$.

实际得分： $100pts$.

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int main(){
	int n=read();
	printf("%d\n",n*n/4);
	return 0;
}