【Educational Codeforces Round 11-F. Bear and Bowling 4】斜率优化DP+二分

Bear and Bowling 4

题目链接：

https://codeforces.com/contest/660/problem/F

Description

Input

Output

Sample Input

6
5 -1000 1 -3 7 -8

Sample Output

16

Hint

题意

定义一个长度为n的数组a的权值为 $\sum_{i=1}^{n} i*a[i]$,给出一个数组，找出一个连续子序列,让这个子序列的权值最大。

题解

首先想一下n^2的DP方程。

我们设 $dp[i]=\sum_{j=1}^{i} j*a[j]，sum[i]=\sum_{j=1}^{i} a[j]$

那么以i为结尾的最大权值的连续子序列的权值为ans[i]

$ans[i] = max\{dp[i]-dp[j]-j*(sum[i]-sum[j])\} ...(0\leq j < i)$

看这个方程大概就可以斜率DP。

我们进行推导一下，设 $k<j<i$ ,当 $j$比 $k$更优的时候：

​ $dp[i]-dp[j]-j*(sum[i]-sum[j]) > dp[i]-dp[k]-k*(sum[i]-sum[k])$

$=> dp[j]+j*sum[i]-j*sum[j]<dp[k]+k*sum[i]-k*sum[k]$

$=> sum[i]*(j-k) < dp[k]-k*sum[k]-(dp[j]-j*sum[j])$

$=> sum[i]*(j-k)<j*sum[j]-dp[j]-(k*sum[k]-dp[k])$

$=>sum[i]< \frac{j*sum[j]-dp[j]-(k*sum[k]-dp[k])}{(j-k)}$

我们发现如果设 $f[x]=x*sum[x]-dp[x]$ 那么 $sum[i]$就是 $g(j,k)$的斜率。

还是设 $k<j<i$ ，如果存在 $g[i,j]>g[j,k]$，那么j这个点就一定是没用的，这里我们来证明一下。

1.当 $g[i,j]>sum[i]$,说明 $i$比 $j$更优,此时j是没用的。

2.当 $g[i,j]\leq sum[i]$,但是又存在 $g[j,k]<g[i,j] \leq sum[i]$，由于 $g[j,k]<sum[i]$说明此时k是比j更优的,此时j也是没用的。

所以我们可以通过上面的优化去除掉所有 $g[i,j]>g[j,k]$的情况，所以从左到右斜率呈现一个递减的情况，也就是一个上凸包。

但是由于本题中sum[i]不是递增的，所以不能通过弹出队首的方法优化斜率DP，我们只能在维护好的凸包上二分找到最优解。

二分的时候设 $F(mid)$为mid能得到的最大值,如果 $F(mid)>=F(mid+1)$说明最优解在左侧，否则在右侧。

代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<time.h>
#include<math.h>
using namespace std;

//***********************IO**********************************
namespace fastIO
{
    #define BUF_SIZE 100000
    #define OUT_SIZE 100000
    bool IOerror=0;
    inline char nc()
    {
        static char buf[BUF_SIZE],*p1=buf+BUF_SIZE,*pend=buf+BUF_SIZE;
        if (p1==pend)
        {
            p1=buf;
            pend=buf+fread(buf,1,BUF_SIZE,stdin);
            if (pend==p1)
            {
                IOerror=1;
                return -1;
            }
        }
        return *p1++;
    }
    inline bool blank(char ch)
    {
        return ch==' '|ch=='\n'||ch=='\r'||ch=='\t';
    }
    inline void read(int &x)
    {
        bool sign=0;
        char ch=nc();
        x=0;
        for (; blank(ch); ch=nc());
        if (IOerror)return;
        if (ch=='-')sign=1,ch=nc();
        for (; ch>='0'&&ch<='9'; ch=nc())x=x*10+ch-'0';
        if (sign)x=-x;
    }
    #undef OUT_SIZE
    #undef BUF_SIZE
};
using namespace fastIO;
//************************************************************************

#define ok cout<<"OK"<<endl;
#define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl;
#define dbg2(x1,x2) cout<<#x1<<" = "<<x1<<" "<<#x2<<" = "<<x2<<endl;
#define dbg3(x1,x2,x3) cout<<#x1<<" = "<<x1<<" "<<#x2<<" = "<<x2<<" "<<#x3<<" = "<<x3<<endl;
#define print(a,n) for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;
#define pb push_back
#define Fi first
#define Se second
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define pii pair<int,int>
#define pil pair<int,ll>
#define pll pair<ll,ll>

const double eps = 1e-8;
const double PI = acos(-1.0);
const int Mod = 1000000007;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll LL_INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int maxn = 2e5+10;
ll dp[maxn],sum[maxn],a[maxn],res[maxn];
int q[maxn],top;
ll GET(int i,int j)
{
    return dp[i]-dp[j]-1LL*j*(sum[i]-sum[j]);
}
ll Y(int x)
{
    return 1LL*x*sum[x]-dp[x];
}
int main()
{
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i],dp[i]=dp[i-1]+1LL*i*a[i];
    q[++top]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int l=1,r=top-1;
        while(l<=r)
        {
            int mid=(l+r)>>1;
            if(GET(i,q[mid])>=GET(i,q[mid+1])) r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }
        res[i]=max(a[i],GET(i,q[l]));
        while(top&&(Y(i)-Y(q[top]))*(q[top]-q[top-1])>(Y(q[top])-Y(q[top-1]))*(i-q[top])) top--;
        q[++top]=i;
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,res[i]);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}