整数规划模型的基本知识

线性规划模型的决策变量取值可以是任意非负实数，但许多实际问题的建模中，只有当决策变量的取值为整数时才有意义。例如，产品的件数、机器的台数、装货的车数、完成工作的人数等，分数或小数解显然是不合理的。要求全部或部分决策变量的取值为整数的线性规划模型，称为整数规划模型。

全部决策变量的取值都为整数的整数规划模型，称为纯整数规划模型；仅要求部分决策变量的取值为整数的整数规划模型，称为混合整数规划模型；要求决策变量只能取0或1值的整数规划模型，则称为0-1规划模型。

**纯整数规划模型**的一般形式为：
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0-1规划模型的一般形式为：

整数规划模型的求解比线性规划模型的求解要难得多，整数规划模型求解的困难在于模型的维数（决策变量与约束条件的个数）增加时，计算量将爆炸性（即按指数规律）增加。

下面是一些**有关整数规划模型常用的求解方法**：

（1）枚举法与隐枚举法：常用于0-1规划模型的求解，但模型的维数高时不可行。
（2）分枝定界法：对纯整数规划模型和混合整数规划模型的求解均适用，比较可行。
（3）割平面法：对纯整数规划模型和混合整数规划模型的求解均适用，比较可行。

以上求解整数规划模型的详细算法，请参见清华大学编《运筹学》教材。在实际建模中，可借助于LINGO、MATLAB等数学软件对整数规划模型进行求解。

指派问题

问题： 设有项任务要派个人去完成，但由于任务的性质和个人专长不同，每个人去完成不同任务的效率（或所用时间）有所不同。试问应当派哪个人去完成哪项任务，使总的效率最高（或所用的总时间最少）？这类问题称为指派问题。

解答： 设表示第人完成第项任务所需的时间，表示所用总时间。决策变量设置如下：
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由于问题的要求，每项任务均要有人去完成，即有

又每人均要被分派任务，即有

以所用总时间作为目标函数，指派问题的解决归结为如下0-1规划模型：

对于指派问题的求解，已有较成熟的匈牙利算法（参见清华大学编《运筹学》教材）。在实际建模中，可用LINGO、MATLAB等数学软件进行求解。

整数规划建模示例

两辆平板车装载问题
有七种规格的包装箱要装到两节铁路平板车上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以cm 计）及重量（w，以kg计）是不同的。表6-5给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每节平板车有10.2m 长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。由于当地货运的限制，对于C5, C6, C7 类包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。试设计一种装车方案，使得浪费的空间最小。

1. 模型假设
（1）各种规格的包装箱的宽和高是一样的，且满足装车的宽、高要求，平板车能装包装箱的数量只与包装箱的厚度与重量有关；
（2）每件包装箱不能拆分装车；
（3）每种包装箱可以分布在不同的平板车上；
（4）不同的包装箱可以放在同一个平板车上，并且可以保证不留空隙。
2. 模型建立
（1）决策变量
设xij（i=1,2,...,7; j=1,2）表示在第j节车上装载第i种包装箱的数量，以xij为决策变量，xij只能取非负整数值。
（2）约束条件
以ni表示第i种包装箱可用装车的件数，两节车的装箱数不能超过可用装车的件数，故有：
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以lj表示第j节车可用装箱的长度，ti表示第i种包装箱的厚度，每节车可装的长度不能超过车能提供的长度，故有：

以wi表示第i种包装箱的重量，Wj表示第j节车的载重量，每节车可装的重量不能超过车能够承受的载重量，故有：
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对于C5, C6, C7类包装箱的总数的特别限制记为S（S=302.7cm），故有：

（3）目标函数
浪费的空间最小，即所装包装箱的总厚度最大。以所装包装箱的总厚度为目标函数，所装包装箱的总厚度表达式为：

综合上述分析，两辆平板车装载问题的数学模型为如下整数规划模型：
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3. 模型求解
运用LINGO软件得到最优解：

最优目标值，即按此最优装车方案两辆平板车共剩余空间0.6cm。