最长回文子串——动态规划和马拉车算法

题目

s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

示例 1：

输入: “babad”
输出: “bab”
注意: “aba” 也是一个有效答案。

示例 2：

输入: “cbbd”
输出: “bb”

分析

我们首先要理解什么是"回文"，回文就是无论从前往后读还是从后往前读都是一样的，如：“abcba”,"noon"等。那么要求回文串，最简单直接的方法就是暴力法，列出它的所有子串，并逐一判断是不是回文串。
这样的话我们分析一下它的时间复杂度。

方法一：暴力法

假设一个字符串的长度为 $n$,它的子串的个数为 $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}( 2n​ )= 2n(n−1)$(不包括字符本身是回文的一般解法)的总数。因为验证每个子字符串需要 $O(n)$的时间，所以运行时间复杂度是 $O(n^3)$。但是这个时间复杂度很高，我们需要想办法优化它。

方法二：动态规划

为了改进暴力法，我们首先观察如何避免在验证回文时进行不必要的重复计算。考虑 $\textrm{“ababa”}$,这个示例。如果我们已经知道 $\textrm{“bab”}$是回文，那么很明显， $\textrm{“ababa”}$一定是回文，因为它的左首字母和右尾字母是相同的。
我们给出 $P(i,j)$ 的定义如下：
$P(i,j) = \begin{cases} \text{true,} &\quad\text{如果子串} S_i \dots S_j \text{是回文子串}\\ \text{false,} &\quad\text{其它情况} \end{cases} ​$
因此，
$P(i, j) = ( P(i+1, j-1) \text{ and } S_i == S_j )$
基本示例如下：
$P(i, i) = true$
$P(i, i+1) = ( S_i == S_{i+1} )$
这产生了一个直观的动态规划解法，我们首先初始化一字母和二字母的回文，然后找到所有三字母回文，并依此类推…
复杂度分析
时间复杂度： $O(n^2)$，这里给出我们的运行时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
空间复杂度： $O(n^2)$，该方法使用 $O(n^2)$，的空间来存储表。
实现算法如下：

 public String longestPalindrome(String s) {
     String substr = "";
    if (null == s || s.length() == 0){
      return substr;
    }
    if (s.length() == 1){
      return s;
    }
    int length = s.length();
    boolean[][] isPalindrome = new boolean[length][length];
    substr = s.substring(0,1);
    for (int i = 1;i<s.length();i++){
      isPalindrome[i][i] = true;
      for (int j = i-1;j>=0;j--){
        isPalindrome[i][j] = s.charAt(i) == s.charAt(j) && ( i - j < 3 || isPalindrome[i-1][j+1]);
        if (isPalindrome[i][j] && i - j+1 > substr.length()){
          substr = s.substring(j,i+1);
        }
      }
    }
    return substr;
  }
}

实例分析

下面我们看下， $acbcba$，定义一个二维数组isPalindrome[i][j]，当 i == j时，数组值为true，根据上面的公式首先从 i = 1， j = i -1;开始

string	a	c	b	c	b	a
i and j	j	i
isPalindrome[i][j]	false
i and j		j	i
isPalindrome[i][j]			false
i and j	j		i
isPalindrome[i][j]			false
i and j			j	i
isPalindrome[i][j]				false
i and j		j		i
isPalindrome[i][j]				true

这样我们就找到了第一个长度大于1的回文额子串，后面依次类推，就可得出最终结果。

方法三：马拉车算法

未完待续。。。