马拉车算法(求最长回文串)

参考博客：

• https://blog.csdn.net/qq_43456058/article/details/9458872
• https://blog.csdn.net/u011469138/article/details/82431327
• https://blog.csdn.net/qq_40620465/article/details/90183663?utm_source=app
• https://www.cnblogs.com/grandyang/p/4475985.html

马拉车算法:

• 什么是马拉车?
  Manacher算法，又叫“马拉车”，它可以在时间复杂度和空间复杂度都是O(n)的情况下，求出一个字符串的最长回文串长度(一般用法,也可以求字符串中回文串的个数)

• 第一步，重组字符串
  例如: noon
  重组后:$#n#o#o#n#
  那为什么要这样做呢?
  1.首先,这样做的好处是不论原字符串是奇数还是偶数个，处理之后得到的字符串的个数都是奇数个，这样就不用分情况讨论了，而可以一起搞定。
  2.接下来我们还需要和处理后的字符串t等长的数组p，其中 p[i] 表示以 t[i] 字符为中心的回文子串的半径，若 p[i] = 1，则该回文子串就是 t[i] 本身，那么我们来看一个简单的例子：

  # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 2 #
  1 2 1 2 5 2 1 6 1 2 3 2 1
  

  为啥我们关心回文子串的半径呢？看上面那个例子，以中间的 ‘1’ 为中心的回文子串 “#2#2#1#2#2#” 的半径是6，而未添加#号的回文子串为 “22122”，长度是5，为半径减1。这是个普遍的规律么？我们再看看之前的那个 “#b#o#b#”，我们很容易看出来以中间的 ‘o’ 为中心的回文串的半径是4，而 "bob"的长度是3，符合规律。再来看偶数个的情况 “noon”，添加#号后的回文串为 “#n#o#o#n#”，以最中间的 ‘#’ 为中心的回文串的半径是5，而 “noon” 的长度是4，完美符合规律。所以我们只要找到了最大的半径，就知道最长的回文子串的字符个数了。只知道长度无法定位子串，我们还需要知道子串的起始位置。
  我们还是先来看中间的 ‘1’ 在字符串 “#1#2#2#1#2#2#” 中的位置是7，而半径是6，貌似 7-6=1，刚好就是回文子串 “22122” 在原串 “122122” 中的起始位置1。那么我们再来验证下 “bob”，“o” 在 “#b#o#b#” 中的位置是3，但是半径是4，这一减成负的了，肯定不对。所以我们应该至少把中心位置向后移动一位，才能为0啊，那么我们就需要在前面增加一个字符，这个字符不能是#号，也不能是s中可能出现的字符，所以我们暂且就用美元号$吧，毕竟是博主最爱的东西嘛。这样都不相同的话就不会改变p值了，那么末尾要不要对应的也添加呢，其实不用的，不用加的原因是字符串的结尾标识为 ‘\0’，等于默认加过了。那此时 “o” 在 “KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '#' at position 1: #̲b#o#b#" 中的位置是4，…#1#2#2#1#2#2#” 中的位置是8，而半径是6，这一减就是2了，而我们需要的是1，所以我们要除以2。之前的 “bob” 因为相减已经是0了，除以2还是0，没有问题。再来验证一下 “noon”，中间的 ‘#’ 在字符串 “$#n#o#o#n#” 中的位置是5，半径也是5，相减并除以2还是0，完美。可以任意试试其他的例子，都是符合这个规律的，最长子串的长度是半径减1，起始位置是中间位置减去半径再除以2。(此处偷了懒,复制了其他博客!如有侵权，请联系删除!抱歉!)

• 第二步，理解下面这段代码

  // id 代表中心位置， mx 代表最右边的位置
  p[i] = mx > i ? min(p[id * 2 - i],mx - i):1;
  

  看上去不是很好理解，下面开始分步讲解
  首先对数据进行初始化，再对i进行判断，分为两种情况
  第一种情况，i>=mx,i在mx前面，直接让p[i]=1。
  第二种情况，i<mx，这时候就又有两种情况了，对p[j]和mx-i进行比较：
  （1）p[j]<=mx-i说明i的最右端还在mx里面，如上图所示，只需要让p[i]=p[j]即可。
  （2）p[j]>mx说明i的最右端大于mx了，如下图所示，所以我们需要对这两种情况再讨论一下，当p[j] < mx-i的时候，表示Len[i]的长度可能不会超过mx-i，所以我们就从i的p[2*id - i]也就是p[mx-i]的地方开始匹配。当p[j] > mx - i的时候，说明i位置的子串长度超过了mx，但mx以外的地方还没有遍历到，所以我们就从mx-i也就是mx的位置开始对i匹配。
  如果p[i]+i>mx，就对mx进行更新，并且将中间点id更换成i，再通过比较更新最长回文串长度，返回最大值。

• 马拉车完整代码(求最长回文子串的长度):

/*
马拉车模板题: https://www.luogu.org/problemnew/solution/P3805
*/
//求最长回文串的长度
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 32000005;
int hw[MAXN];
//马拉车
inline int Manacher(string s)
{
    //转换字符串
    memset(hw, 0, sizeof(hw));
    int len = s.length();
    string nowString = "$#";
    for(int i = 0; i < len; i++){
        nowString += s[i];
        nowString += "#";
    }
    //防止越界访问
    len = nowString.length();


    int maxRight = 0, mid = 0, maxAns = 0;
    //maxRight 最右边的位置 mid 中心的位置 maxAns 最长回文串的半径
    for(int i = 1; i < len; i++){
        if(maxRight > i){
            //当中心点没超过最右边maxRight
            hw[i] = min(maxRight - i, hw[(mid<<1) - i]);
        }
        else{
            //否则,就重新往外扩
            hw[i] = 1;
        }
        //如果当前不是最长, 就往外扩
        while(nowString[i + hw[i]] == nowString[i - hw[i]]){
            ++hw[i];
        }
        //更新最右边的位置, 同时更新最长字串的半径
        if(i + hw[i] > maxRight){
            maxRight = i + hw[i];
            mid = i;
        }
        maxAns = max(hw[i], maxAns);
    }
    //最长字串的长度等于半径减1
    return (maxAns - 1);
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    string s;
    while(cin >> s){
        cout << Manacher(s) << endl;
    }
    return 0;
}

• 马拉车求最长回文串的个数

//求回文串的个数
inline int Manacher(string s)
{
    //转换字符串
    memset(hw, 0, sizeof(hw));
    int len = s.length();
    string nowString = "$#";
    for(int i = 0; i < len; i++){
        nowString += s[i];
        nowString += "#";
    }
    //防止越界访问
    nowString += "^";
    len = nowString.length();


    int maxRight = 0, mid = 0, maxAns = 0, numAns = 0;
    //maxRight 最右边的位置 mid 中心的位置 maxAns 最长回文串的半径
    for(int i = 1; i < len; i++){
        if(maxRight > i){
            //当中心点没超过最右边maxRight
            hw[i] = min(maxRight - i, hw[(mid<<1) - i]);
        }
        else{
            //否则,就重新往外扩
            hw[i] = 1;
        }
        //如果当前不是最长, 就往外扩
        while(nowString[i + hw[i]] == nowString[i - hw[i]]){
            ++hw[i];
        }
        //更新最右边的位置, 同时更新最长字串的半径
        if(i + hw[i] > maxRight){
            maxRight = i + hw[i];
            mid = i;
        }
        //求最长回文串的长度
        //maxAns = max(hw[i], maxAns);

        //求回文串的个数
        numAns += (hw[i] / 2);

    }
    //最长字串的长度等于半径减1
    //return (maxAns - 1);

    //回文串的个数
    return numAns;
}

这里我们来探讨下为什么是:

//求回文串的个数
numAns += (hw[i] / 2);

例如:
#a#b#a#
1 2 1 4 1 2 1
这已经给出了每个字符所能延伸的半径, 例如b为4,因为这之内的所有字符都是以b字符为中心对称,又因为字符串中加入了#字符,所以以b字符为中心点的回文串个数为hw[b的下标] / 2

• 求最长回文串

//求最长回文串
inline string Manacher(string s)
{
    //转换字符串
    memset(hw, 0, sizeof(hw));
    int len = s.length();
    string nowString = "$#";
    for(int i = 0; i < len; i++){
        nowString += s[i];
        nowString += "#";
    }
    //防止越界访问
    nowString += "^";
    len = nowString.length();


    int maxRight = 0, mid = 0, maxLen = 0, maxPoint = 0;
    //maxRight 最右边的位置 mid 中心的位置 maxAns 最长回文串的半径
    for(int i = 1; i < len; i++){
        if(maxRight > i){
            //当中心点没超过最右边maxRight
            hw[i] = min(maxRight - i, hw[(mid<<1) - i]);
        }
        else{
            //否则,就重新往外扩
            hw[i] = 1;
        }
        //如果当前不是最长, 就往外扩
        while(nowString[i + hw[i]] == nowString[i - hw[i]]){
            ++hw[i];
        }
        //更新最右边的位置, 同时更新最长字串的半径
        if(i + hw[i] > maxRight){
            maxRight = i + hw[i];
            mid = i;
        }

        if(hw[i] > maxLen){
            maxLen = hw[i];
            maxPoint = i;   //最长回文串的中心位置
        }

    }

    //截取最长回文串
    //这里为啥这样写,在本博客前文已经提到过: 1. 第一步,重组字符串
    return s.substr((maxPoint - maxLen) / 2, maxLen - 1);
}

后续再补上一些例题,以及求字符串中所有的回文串个数,最长的回文串!

2019.07.26, 已经将基本的马拉车算法应用补上.

待补题: 杭电6599

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6599