信号与系统(Python) 学习笔记 (7.1) 电路与系统函数 -- 连续系统

• 【总目录】
  • (1) 简介 Intro
  • (2) 傅里叶 Fourier
    • 常用函数的傅里叶变换汇总
  • (3) LTI 系统 与 滤波器
    • 二次抑制载波振幅调制接收系统 Python
  • (4) 取样 Sampling
  • (5) 离散傅里叶 Discrete Fourier
  • (6) 拉普拉斯变换 Laplace Transform
  • (7) 电路与系统函数
    • 连续系统
      

---

7.3. 连续系统

7.3.1. 连续系统的s域框图

• 积分器比微分器在电路中更稳定，所以不用微分器。

  • 微分器更容易受到噪声的干扰 – 求导放大噪声
  • 积分器累计作用可小的噪声干扰平乏

• 步骤:

  1. 选择求和器的输出: $X(s)$
  2. 对求和器的输入 $=$ 输入 列方程
  3. 整理

• 例: 对如下系统列出微分方程:

• 解: 画出 s 域框图，设左边加法器输出为X(s), 如图:
  $X(s) = F(s) - 3s^{-1} X(s) - 2s^{-2}X(s)$
  • 为 s 域的代数方程
    $X(s) = \frac{1}{1+3s^{-1} + 2s^{-2}}F(s)$
    $\begin{aligned}Y(s) &= X(s)+4s^{-2}X(s)\\&= \frac{1+4s^{-2}}{1+3s^{-1}+2s^{-2}}F(s)\\& = \frac{s^2+4}{s^2+3s+2}F(s)\end{aligned}$
  • 微分方程为
    $y^{\prime\prime}(t)+3y^\prime(t)+2y(t) = f^{\prime\prime}(t) + 4 f(t)$

7.3.2. 连续系统的信号流图

• 系统方框图 简化的表示方法

  • 用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图由 Mason 1953年提出的，它是用一些点和有向线段描述系统方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便，应用非常广泛。

• 定义：信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。

• 信号流图中常用术语

  1. 结点 ：
     信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。
  2. 支路和支路增益 ：
     连接两个结点之间的有向线段称为支路。
     每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）
     
     即用一条有向线段表示一个子系统。
  3. 源点与汇点，混合结点 ：
     仅有出支路的结点称为 源点（或输入结点）。
     仅有入支路的结点称为 汇点 （或输出结点）。
     有入有出的结点为 混合结点 。
  4. 通路、开通路、闭通路、不接触回路、自回路 ：
     通路 －沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径。
     开通路 －如果通路与任一结点相遇不多于一次。
     闭通路 －若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次。
     不接触回路 －相互没有公共结点的回路。
     自回路 －只有一个结点和一条支路的回路。
  5. 前向通路，前向通路增益，回路增益 ：
     前向通路 －从源点到汇点的开通路。
     前向通路增益 －前向通路中各支路增益的乘积。
     回路增益 －回路中各支路增益的乘积。

• 信号流图的基本性质

  扫描二维码关注公众号，回复： 10252717 查看本文章
  1. 信号只能沿支路箭头方向传输。
     支路的输出 $=$ 该支路的输入与支路增益的乘积。
  2. 当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。
     

• 方框图 $\longleftrightarrow$ 流图
  注意：加法器前引入增益为1的支路

• 流图的基本规则

  1. 支路串联 ：支路增益相乘。
     
  2. 支路并联 ：支路增益相加。
     
  3. 混联：
     

7.3.2. 梅森 Mason 公式

• 系统函数 $H(s)$ 记为 $H$。

• 梅森 Mason 公式为：
  $H=\frac{1}{\Delta} \sum_{i} P_i \Delta_i$

  • 流图的特征行列式
    $\Delta = 1-\sum_J L_J + \sum_{m,n} L_mL_n - \sum_{p,q,r} L_pL_qL_r + \cdots$
  • $L$ 回路（环）
  • $\sum_J L_J$ – 所有不同回路的增益之和
  • $\sum_{m,n} L_mL_n$ – 所有两两不接触回路的增益乘积之和
  • $\sum_{p,q,r} L_pL_qL_r$ – 所有三三不接触回路的增益乘积之和
  • $i$ 表示由源点到汇点的第 $i$ 条前向通路的标号
  • $P_i$是由源点到汇点的第 $i$ 条前向通路增益
  • $\Delta_i$ 称为第 $i$ 条前向通路的剩余特征行列式 (消去接触回路)

• 例：求下列信号流图的系统函数
  

  1. 首先找出所有回路:
     $\begin{aligned}L_1 &= H_3 G \\L_2 &= 2H_1 H_2 H_3 H_5\\ L_3 &= H_1 H_4 H_5\end{aligned}$
     • 两两不相接触 $L_1\cdot L_3$
  2. 求特征行列式:
     $\Delta = 1 - (H_3 G + 2H_1 H_2 H_3 H_5 + H_1 H_4 H_5) + H_3GH_1H_4H_5$
  3. 然后找出所有的前向通路
     $\begin{aligned}P_1 &= 1\cdot 2H_1 H_2 H_3 \cdot 1 \\ P_2 &= 1\cdot H_1 H_4 \cdot 1 \\ \end{aligned}$
  4. 求各前向通路的余因子
     $\begin{aligned}\Delta_1 &= 1 \\ \Delta_2 &= 1-GH_3\\\end{aligned}$
     $H = \frac{1}{\Delta}(P_1\Delta_1 + P_2\Delta_2)$

---

7.4. 连续系统的模拟

• 若已知 $H(s)$, 给出系统模拟

7.3.3. 直接形式

• 利用 Mason 公式来实现

• 思路:

  1. 构造单环: $\sum_j L_j$
  2. 构造通路: 去掉 $P_i$, $\Delta_i =1$

• 例:
  $H(s) = \frac{b_2s^2+b_1s+b_0}{s^2 + a_1s + a_0}$

  • 画出系统信号流图

• 解:

$H(s) = \frac{b_2 + \frac{b_1}{s} + \frac{b_0}{s^2}}{1{\color{blue}-\underset{-\sum L_J}{(-\frac{a_1}{s} - \frac{a_0}{s^2})}}}$

• 由梅森公式：流图包含3条开路和两个相接触环。

• 两形式都有公用通路点

7.3.4. 级联形式

• 例:

$\begin{aligned}H(s) & = \frac{s+1}{(s^2 +5s +6)(s+4)}\\ & = \frac{s+1}{s^2+5s+6} \cdot \frac{1}{s+4} \\& = H_1(s) \cdot H_2(s) \\ H_1(s) &= \frac{s+1}{s^2+5s+6} \\ & = \frac{\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}}{1-(-\frac{5}{s}-\frac{6}{s^2})}\\ H_2(s) & = \frac{1}{s+4}\\ & = \frac{\frac{1}{s}}{1-(-\frac{4}{s})} \end{aligned}$

7.3.5. 并联形式

• 例:

$\begin{aligned}H(s) & = \frac{s+5}{(s+1)(s+2)(s+3)}\\ & = \frac{2}{s+1} + \frac{-3}{s+2}+\frac{1}{s+3} \\& = H_1(s) + H_2(s)+H_3(s) \\ H_1(s) &= \frac{2}{s+1} \\ & = \frac{2/s}{1-(-1/s)}\\ H_2(s) & = \frac{-3}{s+2}\\ & = \frac{-3/s}{1-(-2/s)} \\ H_3(s) & = \frac{1}{s+3}\\ & = \frac{1/s}{1-(-3/s)} \end{aligned}$

---

7.4. 零极点配置

7.4.1. 零极点配置的作用

• 极点增强效益

  $H(j\omega) = \frac{K}{(j\omega - P_1)(j\omega -P_2)}$

  

  $H(j\omega) = \frac{K}{d\cdot d'}\angle -\theta_1 - \theta_2$
  $\lvert H(j\omega) \rvert\uparrow = \frac{K}{d\cdot d'\downarrow}$

  • 假定系统函数只有一个极点 $p=-\alpha + j\omega_0$ , 如图 (a) 所示。为了对某值 $\omega$ 求其幅度 $\lvert H(j\omega)\rvert$ ，将该极点 $p$ 连到虚轴上的 $j\omega$ 点，假定该线段的长度是 $d$ ，那么 $\lvert H(j\omega)\rvert$ 应正比于 $1/d$:
    $\lvert H(j\omega)\rvert = \frac{K}{d}$

• 零点抑制效益
  $H(j\omega) = \frac{(j\omega - \zeta_1)(j\omega - \zeta_2)}{A(j\omega)}$

  

  $\lvert H(j\omega)\rvert\downarrow \propto (r,r')\downarrow$

  • 适当配置零极点对，可以互相抵消在频率响应上的影响，因此，可以利用这些不同的频率选择特性，来观察结果，设计低通、高通、带通和带阻（陷波）滤波器。

7.4.2. 低通滤波器中零极点的配置

• 一个典型的低通滤波器在 $\omega = 0$ 处 有最大增益。 由于一个极点在它的邻近频率上能使增益增强，所以需要在左半实轴上配置一个（或多个）极点，如图 (a)所示。该系统的系统函数是:
  $H(s) = \frac{\omega_c}{s+\omega_c}$
  显然
  $\lvert H(j\omega)\rvert = \frac{\omega_c}{d}$
  $d$ 是极点 $-\omega_c$ 到虚轴上点 $j\omega$ 的距离, 且有 $H(0)=1$。

• 当 $\omega$ 增加， $d$ 也增大, $\lvert H(j\omega)\rvert$ 单调减少，如图 © 中的 $N=1$ 的曲线所示。其在 $\omega = 0$ 附近增益被增强。

• 可以证明，为了实现在频带 $0\sim \omega_c$ 上所有频率都要增强增益，就需要在左半平面配置无穷多个极点，这些极点位于图 (b) 所示的半圆形墙上，也称 极点墙。

• 对于不同极点个数 $N$ 的幅度响应如图 ©所示，随着极点个数 $N\to \infty$ ，滤波器接近于理想的。这一类理想滤波器即为 巴特沃茨(Butterworth)滤波器 。

7.4.3. 带通滤波器中零极点的配置

• 阴影特性表示理想带通滤波器的增益，增益在通带内被增强。实现方法为：在左半平面内面对虚轴，以 $j\omega_0$ 和 $-j\omega_0$ 分别为中心配置一堵极点墙，极点墙上所有极点均为共轭极点。理想情况需要无穷多个极点，实际上是用有限个极点去交换一个可以接受的非理想特性。

7.4.4. 带阻滤波器中零极点的配置

• 一个理想陷波滤波器的幅度响应（图(b)的阴影部分），与理想带通滤波器的幅度响应刚好相反。以一个二阶陷波滤波器为例，

  1. 要求在 $\omega = \omega_0$ 处得到零增益，为此，必须在 $\pm j\omega_0$ 有零点。
  2. 要求在 $\omega = \infty$ 增益为 $1$ ，就需要极点个数等于零点个数，这就保证了对于 $\omega = \infty$, 极点到 $\omega=\infty$ 的距离乘积一定等于零点到 $\omega = \infty$ 的距离乘积。
  3. 要求 $\omega=0$ 的增益为 $1$，就需要配置与原点等距离的零点和相应极点，如果采用一对共轭零点，就必须有两个相应极点，并且极点、零点到原点的距离是相同的。此时，只要将两个共轭极点配置在以 $\omega_0$ 为半径的半圆上就能满足这个要求，如图 (a)所示。极点可以位于这个半圆上的任意位置处，均能满足等距离的条件，假定与负实轴成 $\pm \theta$ 。
  4. 由于邻近的极点和零点有相互抵消影响的倾向，故将极点尽可能放置在靠近零点处（ $\theta$ 接近 $\pi/2$ ），这样保证当频率从 $\omega=\omega_0$ 向两边稍有变化时，增益能从 $0$ 到 $1$ 有一个急剧的恢复，图 (b)是三种不同的 $\theta$ 增益。

To TOP 至目录