LightOJ - 1236 数论好题

跑来csdn写一下题解 不然老师又说不更新。。。。。。。。。。。
$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [lcm(i,j)=n] \quad \quad$
嘛，让你求这个式子。。。。
看了题解后才发现直接分解质因数就好了。。。。。。。。。
嘛，不过我也推导了一个类似分解质因数的做法

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [lcm(i,j)=n] \quad \quad$
$=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [ \frac{i}{gcd(i,j)} \quad*\frac{j}{gcd(i,j)} \quad = \frac{n}{gcd(i,j)} \quad ] \quad \quad$
这步很显然 直接根据小学奥数 lcm等价与两数之积除与他们的gcd
然后你就可以考虑 底下这个gcd的性质的
$n|gcd(i,j)$
嘛，用反演那套（遇事不对 枚举gcd）
于是就有这个式子
$=\sum_{k|n} \ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [ \frac{i}{k} \quad*\frac{j}{k} \quad = \frac{n}{k} [gcd(i,j)=k]\quad ] \quad \quad \quad$
再来一下
$=\sum_{k|n} \ \sum_{i=1}^{n/k 向下取整} \sum_{j=1}^{n/k 向下取整} [ i*j = \frac{n}{k}\quad] [gcd(i,j)=1]\quad \quad \quad \quad$

然后容易发现 i×j = n/k那块好优化
于是乎接着来

$=\sum_{k|n} \ \sum_{p*k|n}[gcd(p,n/k/p)=1]\quad \quad$
$=\sum_{k|n} \ \sum_{p*k|n}[gcd(p,n/k)=p]\quad \quad$
这一步可能有点绕。。。。。。
实际上是这样的 你把倒数第二个式子化一下 会发现。。。。。。gcd哪里很难搞。。。
于是你可以考虑 放 缩
就有的最后的那个狮子
然后可以发现 n/k一定是p的倍数
然后你就可以化成这样
$=\sum_{k|n} \ \sum_{p*k|n}1\quad \quad$
于是就可以解决了，，，，，代码我没写。。。。嘛。。。重思维。。。

正解 据说是直接分解质因数。。。。。。
不过本质上还是我的这个式子。。。。。。

自闭中-----------