【构造好题】CF1236C LAB

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题目大意

定义两个长度为 $n$ 的数列 $A,B$ 的差异值为:在 $A$ 中任取一个数 $u$ ，在 $B$ 中任取一个数 $v$ ，使得 $u>v$ 的数对对数。

现在有 $n^2$ 个数字，编号为 $1$ ~ $n^2$ ，将这些数字放在一个 $n\times n$ 的矩阵里，使任意两行间的差异值最小。

解析

我们考虑 $n$ 很小的情况：

$1.n=1\qquad\space\space\space1$

$2.n=2\qquad\space\space\space1\space 4$

$\qquad\qquad\qquad2\space3$

$3.n=3$ ，由样例知差异值最小为 $4$ ，所以我们可以构造出下面的矩阵，使其差异值为 $4$ ：

$\qquad\qquad\qquad1\space6\space7$

$\qquad\qquad\qquad2\space5\space8$

$\qquad\qquad\qquad3\space4\space9$

观察一下上面的矩阵，我们可以发现一个规律：

对于一个边长为 $n$ 的矩阵，我们可以这样构造：

第一列 $1-n$ 正序，第二列 $n+1-2n$ 倒序，……,直到排满矩阵。

我们抱着试一试的心态交了上去，发现离奇的过了全部的数据点。那么这是为什么呢？

正确性证明

由于我们的差异值具有方向，所以我们要从上往下计算一次差异值，再反方向计算一次。

我们先考虑 $n$ 为奇数的情况。

那么我们的矩阵为:

$\begin{bmatrix} 1 & 2n &2n+1 &...&n(n-1)+1\\\\ 2 & 2n-1&2n+2&...&n(n-1)+2\\\\ 3 & 2n-2&2n+3&...&n(n-1)+3\\\\ ...&...&...&...&...\\\\ n & n+1&3n&...&n^2 \end{bmatrix}$

对于上面的行和下面的行比较，我们观察到第奇数行的数从上往下递增，偶数行从上往下递减，左边的行的所有数都小于右边的行。

那么上下任意两行比较的差异值为

$0+2+2+4+4+...+(n-1)+(n-1)=\frac{n^2-1}{2}$

我们再考虑从下往上比，按照同样的方式推出差异值为

$1+1+3+3+...+(n-1)+(n-1)+n=\frac{n^2+1}{2}$

$\frac{n^2+1}{2}>\frac{n^2-1}{2}$

所以任意两行间最小差异值的最大为 $\frac{n^2-1}{2}$

我们再考虑 $n$ 为偶数的情况。

那么我们的矩阵为：
$\begin{bmatrix} 1 & 2n &2n+1 &...&n^2\\\\ 2 & 2n-1&2n+2&...&n^2-1\\\\ 3 & 2n-2&2n+3&...&n^2-2\\\\ ...&...&...&...&...\\\\ n & n+1&3n&...&n(n-1)+1 \end{bmatrix}$

从上往下比较，我们的差异值为

$0+2+2+4+4+...+(n-2)+(n-2)+n=\frac{n^2}{2}$

从下往上比较，我们的差异值为

$1+1+3+3+...+(n-1)+(n-1)=\frac{n^2}{2}$

任意两行间最小差异值最大为 $\frac{n^2}{2}$

因为有 $n^2$ 个数，所以总差异值最大为

$(n^2-1)+(n^2-2)+...+1=\frac{n^4-n^2}{2}$

一共有 $n^2-n$ 行进行了比较,所以最小差异值 $=\frac{n^4-n^2}{2(n^2-n)}$

$\frac{n^4-n^2}{2(n^2-n)}\le\frac{n^4-n^2}{2(n^2-1)}=\lfloor\frac{n^2}{2}\rfloor$

即当 $n$ 为奇数时最小差异值最大为 $\frac{n^2-1}{2}$ ，当 $n$ 为偶数时最小差异值最大为 $\frac{n^2}{2}$ 。

证毕。