面试准备——概率题

1. 一根木棒折成三段，能组成三角形的概率

解法1
设长度为L，第一段长度为x，第二段长度为y，第三段长度为z，则
$\Omega_{1}=\{(x, y, z) ; x, y, z>0, x+y+z=L\}$
这三段能构成三角形当且仅当

$A:\left\{\begin{array}{l} x+y>z \\ x+z>y \\ y+z>x \end{array}\right.$
得出 $P(A)=\frac{1}{4}$
思路：“任意折”指的是(x,y,z)服从区域 $\Omega_{1}$上的均匀分布，再由几何型概率的计算得结论。

解法2
设第一段长度为x，第二段长度为y，第三段长度则为L-(x+y)，显然，（x,y）所有可能的取值范围为
$\Omega_{2}=\{(x, y) ; x, y>0, x+y<L\}$
这三段能构成三角形当且仅当（x,y）满足
$A:\left\{\begin{array}{l} x, y>0, x+y<L \\ x+y>L-(x+y) \\ x+L-(x+y)>y \\ y+L-(x+y)>x \end{array}\right.$
通过等式变形，得到上式等价于 $A=\left\{x+y>\frac{L}{2}, y<\frac{L}{2}, x<\frac{L}{2}\right\}$。区域 $\Omega_{2}$和 $A$如下图所示，可行域 $A$为图中的小三角形，其面积占整个三角形区域 $\Omega_{2}$的1/4。因此

$P(A)=\frac{\frac{1}{2} L \times \frac{1}{2} L \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} L^{2}}=\frac{1}{4}$
解法3
题目的一种直观理解是：在长度为L的线段上任意取两点和，分点、将线段分成三部分，每部分的长度分别为
$\left\{\begin{array}{l} X=\min (\xi, \eta) \\ Y=\max (\xi, \eta)-\min (\xi, \eta) \\ Z=L-\max (\xi, \eta) \end{array}\right.$
其中 $\xi$、 $\eta$独立且同服从[0,L]上的均匀分布，即 $(\xi, \eta)$服从[0,L]×[0,L]上的均匀分布。则这三段能构成三角形的概率为：
$\begin{array}{l} P(X+Y>Z, X+Z>Y, Y+Z>X) \\ =2 P(\xi+(\eta-\xi)>L-\eta, \xi+(L-\eta)>\eta-\xi \\ \quad(\eta-\xi)+(L-\eta)>\xi, \xi<\eta) \\ =2 P\left(\eta>\frac{L}{2}, \eta-\xi<\frac{L}{2}, \xi<\frac{L}{2}, \xi<\eta\right) \\ =2 \frac{1}{2}\left(\frac{L}{2}\right)^{2} \frac{1}{L^{2}}=\frac{1}{4} \end{array}$

解法4
我们把一根木棍看成单位1，现在要在[0, 1]区间上选两个点，使得这两点划分的三条线段可以构成三角形。

现在我们先随意放一个点，可以在[0, 1]区间上的任何点，假设位置为x（不妨设x < 1/2，在右半边是对称的情况），那么如图3所示，为了使得能够构成三角形，另外一个点可以选取的区间为图中红色虚线之间（1/2, 1/2+x）。

只考虑x在左半边的时候，可以构成三角形的概率为：
$\int_{0}^{1 / 2} x=\left.\frac{1}{2} x^{2}\right|_{0} ^{1 / 2}=\frac{1}{8}$
右半边是一样的1/8，因此总概率为1/4。

编程解法

通过编程模拟上面的数学解法。

进行LOOP次循环，记录两个数字，一个是随机得到的长度是合法的三段长度的次数，另一个是随机得到的长度不仅合法还能够组成三角形的次数。随机函数使用为：x=rand()%L, y=rand()%L。
这种方法相当于在(0<x<L, 0<y<L)的范围内随机取点，对于属于下三角范围内的点(0<x<L, 0<y<L，x+y<L)才进行考虑，否则丢弃。
计算得到的数值在0.25左右，当LOOP为L的平方的时候，一般较为稳定。
注意：不可以先随机出x的长度，然后，根据x的长度来随机y的长度，这就相当于先折出x这段，然后折出y和z。

参考文献：
吴莺, 王湘君, 刘继成, et al. 线段被任意折成三段能构成三角形的概率分析[J]. 高等数学研究, 2017(4).
参考网址：
一根木棒折成三段，能组成三角形的概率（一个数学解法，两个编程解法，其中一个是错误示例）
将一根木棍分成三段，求这三段构成三角形的概率（两种数学解法）

2. 已知明天下雨的概率是0.8，求明天0点-8点下雨的概率是多少？

假设12点之前与之后相互独立，设12点之前不下雨为x，则明天不下雨为x*x=16%,x=40%,所以明天12点之前下雨几率为60%。

几种错误答案：
1）以中午12点为界,分为4种情况,1.上午有雨下午没雨 2.上午有雨下午有雨 3.上午没雨下午有雨 4.上午没雨下午没雨, 第四种情况不属于 明天下雨的这84%的概率中,所以明天下雨且上午有雨要从第1–3种中产生,那么上午有雨的情况有两种,所以概率是2/3,那么用84%2/3 得到明天上午有雨的概率为56%。（错误原因：前三种情况不是等概且独立的）
2）P(明天中午12点之前有雨|明天有雨概率)=0.50.84=42%（错误原因：无先验条件下的明天中午12点之前有雨的概率未知，不等于0.5）
3）还是84%

3. 口袋中有n个球,甲乙轮流取球,甲先乙后,每人每次可取1-2个,不能不拿,拿走最后一个球的人输.n为何值甲必胜?

本题中n=3k或n=3k+2时候甲有必胜策略.
1,假设n=3k,甲先拿2个,剩下的必可以写成3m+1,相当于每堆三个有m堆,还零一个,这时候该乙拿 ,乙拿1个,甲就拿2个,乙拿2个甲就拿1个,总之甲根据乙的拿法把3个的一堆拿掉,最后剩下的一定是乙拿,乙就输了。
2,假设n=3k+2,甲先拿走1个,就给乙剩下3k+1了,同样道理甲有必胜策略
但是如果甲面对的是3k+1,乙就有必胜策略了,除非乙不懂或失误,甲才有机会胜。
总结：假设每次是取1~n只，则用总数÷(1＋n)，若没有余数，则后取者胜，要求取的只数与前者的和为1＋n；若有余数，则先取者胜，要求先取走余数，然后取的只数与前者的和为1＋n。

扫描二维码关注公众号，回复： 10226481 查看本文章

4.1 n个人进餐馆，都把帽子挂在门口，走的时候随手拿一顶，问拿到帽子恰好是自己的人数的期望

配对问题
数学期望为1。
期望的一个性质是随机变量之和的期望等于期望之和。
以X记取到自己的帽子的人数。再设
$X_{i}=\left\{\begin{array}{ll} 1 & 第i个人取到自己的帽子\\ 0 & 其他情形 \end{array},(i=1,2, \cdots, N)\right.$
则有 $X=\sum_{i=1}^{N} X_{i}$。
现在，因为第 $i$个人等可能地在N个帽子中取一个，这就推出
$P\left(X_{i}=1\right)=P(第i个人取到自己的帽子)=\frac{1}{N}，$
随之，
$\begin{array}{l} E\left(X_{i}\right)=1 \cdot P\left(X_{i}=1\right)+0 \cdot P\left(X_{i}=0\right) \\ \quad=\frac{1}{N}, \quad(i=1, \quad 2, \quad \cdots, \quad N) \end{array}$
将上式代入上面的方程，得
$\begin{aligned} E(X) &=E\left(\sum_{i=1}^{N} X_{i}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{N} E\left(X_{i}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{N} \\ &=1 \end{aligned}$
因此，无论聚会上有多少人，平均总有一个人取到自己的帽子。
简单来说，一个人选中的概率是1/n，因为有 n 个人选，所以其期望值是：n × (1/n) = 1。

验证，以n=3为例：假设人的排列为123，则帽子的全排列为123、132、213、231、312、321。
其中，
0个人恰好拿到自己的排列为：231、312
1个人恰好拿到自己的排列为：132、321、213
2个人恰好拿到自己的排列为：不存在（2个人拿到则第三个人必拿到）
3个人恰好拿到自己的排列为：123
所以拿到帽子恰好是自己的人的个数的期望为：0×1/3+1×3/6+2×0+3×1/6=1
参考网址：
条件数学期望例题（例5）
百度知道：
https://zhidao.baidu.com/question/936088338712379532.html
https://zhidao.baidu.com/question/324976068.html

4.2 一场聚会上，n个人各有一顶帽子，大家把帽子混在一起，每人随机抽取一顶，问每个人拿的都不是自己的帽子的概率。

错排问题
$P=\frac{1}{2 !}-\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}-\ldots+\frac{(-1)^{n}}{n !}$
参考网址：
错排公式（百度百科）

4.3 n个人将各自的帽子混在一起后任取一项，求恰有k个人拿对自己的帽子的概率

由前两问可得，具体见参考网址。
参考网址：
https://blog.csdn.net/qq_24429333/article/details/91596983
概率论第三讲（习题5）

5.1 如何用一个有偏差的硬币得到等概率0-1随机数

扔两次，如果是【正面】【反面】，算是0；如果是【反面】【正面】，算是1。这两种情况是等概率的，概率都是p(1−p)。
如果出现其他情况，则无效，重新抛两次硬币。
参考网址：http://sofasofa.io/forum_main_post.php?postid=1002368

5.2 如何用硬币得到一个1到6的随机数生成器

二进制编码思想。三个硬币记正面为1， 反面为0
000 －0
001 －1
010 －2
011
100
101
111 －7
这样一共有8个可能，设为0-7。 如果完全忽略0 和7，那么剩下的六种就等同于投骰子了。

5.3 如何用不规则硬币得到一个1到6的随机数生成器

不规则硬币则需要为找六个概率相同的事件。
我的思路（不保证正确）是：四进制。四个硬币记正面为1， 反面为0。或者掷四次硬币。共16种情况，其中【两正两反】共6种情况，用这6种情况即可。 或者六进制，共64种情况，其中【一正五反】或【一反五正】共6种情况。

6. 三个相同的盒子里各有2个球，其中一个盒子里放了2个红球，一个盒子里放了2个蓝球，一个盒子里放了红球和蓝球各1个。随机选择一个盒子后从中随机摸出一球是红球，则这个盒子里另一个球是红球的概率为？

P(选到了两个红球的盒子|随机摸出一个红球) = P(选到了两个红球的盒子∩随机摸出一个红球)/P(随机摸出一个红球) = P(随机摸出一个红球|选到了两个红球的盒子)*P(选到了两个红球的盒子)/P(随机摸出一个红球) = 1/3*1/(1/3*1+1/3*0+1/3*1/2) = 2/3

全概率公式：P(A∩B) = P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B)
贝叶斯公式： P(A|B) = P(B|A)*P(A)/P(B)
$P\left(B_{i} | A\right)=\frac{P\left(B_{i}\right) P\left(A | B_{i}\right)}{\sum_{j=1}^{n} P\left(B_{j}\right) P\left(A | B_{j}\right)}$