经典概率题

不间断收集一些经典概率题，不时让大脑锻炼锻炼，活跃思维~

1.100万个球随机放入100万个箱子，求空箱子的期望个数

概率论趣题：有空箱子的期望数是多少？ - 知乎
https://www.zhihu.com/question/34620836
答案：100万*$e^{-1}$，更一般地，设将n个球放入m个箱子，则空箱子的期望个数为$m(1-\frac{1}{m})^n$，当m趋于无穷时，近似等于$me^{-n/m}$

解析：设二值随机变量$B_i$表示第i个箱子最后是否为空（1为空，0为非空），则

$$E(B_i) = \sum_iB_iP(B_i)=P(B_i=1)=(1-\frac{1}{m})^n$$ 注：每个球放入除第i个箱子以外的其它箱子的概率是1-1/m
根据“独立随机变量和的期望等于随机变量期望的和”，空箱子的期望个数
$$E(B) = E(\sum_iB_i)=\sum_iE(B_i)=m(1-\frac{1}{m})^n$$
再根据高数中的重要极限 $\lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$，令x=-m，则上式即可近似为 $me^{-n/m}$。

2.在一个圆上随便取三个点，求这三个点组成一个锐角三角形的概率

圆上任选三点组成三角形，这个三角形是锐角、钝角和直角三角形的概率分别是多少？ - 知乎
https://www.zhihu.com/question/19824740
答案：1/4
解析：提供两种解法

• 积分法：
  https://www.zhihu.com/question/19824740/answer/13078308
• 空间转换+线性规划法：三角形三个角对应的圆心角x,y,z满足x+y+z=360，然后将该式看成是空间直角坐标系中的平面，利用线性规划结合锐角的约束条件即x,y,z均在(0,180度)范围内容易算出概率是1/4，详见链接。