分布函数总结

各种重要的分布函数

Gamma 分布

定义：Gamma 分布（Gamma Distribution）是统计学的一种连续概率函数。Gamma分布含有两个参数，其中参数 $\alpha$ 称为形状参数（shape parameter），参数 $\beta$ 称为尺度参数（scale parameter）。需要指出的是，千万不要将Gamma分布与Gamma函数混淆。

• Gamma 函数的数学表达式如下：

$$\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}t^{\alpha-1} e^{-\alpha} \,dt$$

• Gamma 分布的数学表达式如下：

$$X\sim\Gamma(\alpha,\beta)$$
$$f_X(x| \alpha,\beta)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}, \qquad x>0 \quad \alpha,\beta>0$$ $$E(X)=\frac{\alpha}{\beta}$$ $$D(x)=\frac{\alpha}{\beta^2}$$

Gamma分布和很多著名分布存在紧密联系：厄兰分布（Erlang distribution）、卡方分布（Chi-squared distribution）、指数分布（Exponential distribution）、贝塔分布（Beta distribution）都是 Gamma 分布的一个特例。

• 当 $\alpha$ 为整数的时候，Gamma 分布就变成一个厄兰分布。
• 当 $\alpha=n/2,\beta=1/2$ 时，Gamma 分布变成一个卡方分布。
• 当 $\alpha=1, \beta=\lambda$ 时，Gamma 分布变成一个参数为$\lambda$的指数分布：
  $$f_X(x|\alpha=1,\beta=\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}$$

Gamma 分布的性质

• Gamma 分布的可加性
  假设随机变量 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立，且都服从 Gamma 分布，$X_i \sim \Gamma(\alpha_i,\beta)$. 令 $Y=X_1+X_2+\cdots+X_n$，则 $Y\sim \Gamma(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n,\beta)$ Gamma 分布。