11. 分布函数

分布函数

定义： 随机变量 $X$，对任意实数 $x$，称函数

$F(x)=P(X\leq x)$

为 $X$ 的概率分布函数，简称分布函数。

说明：

• 任何随机变量都有相应的分布函数
• $F(x)$的几何意义。

$F(x)=P(X\in (-\infty, x])$

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分布函数的用途

可以给出随机变量落入任意一个范围的可能性

$X$ 的分布函数为 $F(x)$， $a,b$ 为两个实数， $a<b$，则

$P(a<X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=F(b)-F(a);$

$P(a<X<b)=P(a<X\leq b-0)=F(b-0)-F(a);$

$P(X=b)=P(X\leq b)-P(X<b)=F(b)-F(b-0).$

$P(a<X<b)=P(a<X\leq b)-P(X=b)$

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例 1： 一罐子中有 6 个大小形状一致的球，球号分别为 1,2,2,3,3,3. 现随机摸一球（假设摸到各球的可能性相同），用 $X$ 表示摸到的球的球号。求 $X$ 的分布函数。

解： 由题意知， $X$ 的分布律为

$\begin{array}{c|ccc} X&1&2&3 \\ \hline P&1/6&1/3&1/2 \end{array}$

那么 $X$ 的分布函数为

$F(x)=P(X\leq x)=\begin{cases} 0, & x<1; \\ 1/6, & 1\leq x<2; \\ 1/2, & 2\leq x<3; \\ 1, & x\geq 3; \end{cases}$

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一般地，离散型随机变量的分布函数为阶梯函数。

设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,...$

$X$ 的分布函数为

$F(x)=\sum_{x_k\geq x}p_k$

$F(x)$ 在 $x=x_k,(k=1,2,...)$ 处有跳跃，其跳跃值为 $p_k=P\{X=x_k\}$

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例 2： 设随机变量 $X$ 的分布函数如下，求 $X$ 的分布律。

$F(x)=\begin{cases} 0, & x<-1, \\ 0.2, & -1\leq x<3,\\ 0.6, & 3\leq x<4, \\ 1, & x\geq 4. \end{cases}$

解： $F(x)$ 只在 -1,3,4 有跳跃，跳跃的幅度分别是 0.2, 0.4, 0.4.

故分布律为

$\begin{array}{c|ccc} X&-1&3&4 \\ \hline P&0.2&0.4&0.4 \end{array}$

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$F(x) $的性质：

（1） $0\leq F(x)\leq 1;$
（2） $F(x)$ 单调不减；
$\quad \quad \because$ 对于任意 $x_1<x_2,$有 $0\leq P(x_1<X\leq x_2)=F(x_2)-F(x_1).$
（3） $F(-\infty)=0, F(+\infty)=1;$
（4） $F(x) 是右连续函数，即 F(x+0)=F(x)$

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例 3： 设一醉汉游离于 $A,B$ 两点间， $A,B$ 之间距离 3 个单位。该醉汉落在 $A,B$ 任一子区间的概率与区间长度成正比，设他在离 $A$ 点距离 $X$ 远处，求 $X$ 的分布函数。

解： 根据题意， $P(0\leq X\leq 3)=1,$

故当 $x<0$ 时， $F(x)=P(X\leq x)=0;$ 当 $x\geq 3$ 时， $F(x)=1$

设比例系数为 $k$，则 $P(0\leq X\leq 3)=3k=1, \implies k=1/3.$

而当 $0\leq x<3$ 时， $F(x)=P(X\leq x)=P(X<0)+P(0\leq X\leq x)=0+\frac{1}{3}·x.$

从而 $X$ 的分布函数为：

$F(x)=P(X\leq x)=\begin{cases} 0, & x<0;\\ x/3, & 0\leq x <3;\\ 1, & x\geq 3. \end{cases}$

由图可见：此分布函数是个连续函数，因此 $X$ 不是离散型随机变量， $X$ 是连续型随机变量。