最长上升子序列(动态规划)--算法学习

问题描述

一个数的序列ai，当a1 < a2 < … < aS的时候，我们称这个序
列是上升的。对于给定的一个序列(a1
, a2
, …, aN)，我们可以得到
一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK
<= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子
序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比
如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入数据

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给
出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出要求

最长上升子序列的长度。

输入样例

7
1 7 3 5 9 4 8

输出样例

4

解题思路思路来自北大郭炜

1.找子问题

“求序列的前n个元素的最长上升子序列的长度”是个
子问题，但这样分解子问题，不具有“无后效性”
假设F(n) = x,但可能有多个序列满足F(n) = x。有的序
列的最后一个元素比 an+1小，则加上an+1就能形成更长上
升子序列；有的序列最后一个元素不比an+1小……以后的事
情受如何达到状态n的影响，不符合“无后效性”

“求以ak（k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的
长度”
一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的
“终点”。
虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但
是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，
最大的那个就是整个问题的解。

2. 确定状态：

子问题只和一个变量-- 数字的位置相关。因此序列中数的
位置k 就是“状态”，而状态 k 对应的“值”，就是以ak做为
“终点”的最长上升子序列的长度。
状态一共有N个。

3. 找出状态转移方程：

maxLen (k)表示以ak做为“终点”的
最长上升子序列的长度那么：

初始状态：maxLen (1) = 1 
maxLen (k) = max { maxLen (i)：1<=i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1
若找不到这样的i,则maxLen(k) = 1

maxLen(k)的值，就是在ak左边，“终点”数值小于ak ，且长度
最大的那个上升子序列的长度再加1。因为ak左边任何“终点”小
于ak的子序列，加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。

人人为我”递推型动归程序

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN =1010;
int a[MAXN]; int maxLen[MAXN];
int main() {
int N; cin >> N;
for( int i = 1;i <= N;++i) {
cin >> a[i]; maxLen[i] = 1;
}
for( int i = 2; i <= N; ++i) { 
//每次求以第i个数为终点的最长上升子序列的长度
for( int j = 1; j < i; ++j) 
//察看以第j个数为终点的最长上升子序列
if( a[i] > a[j] )
maxLen[i] = max(maxLen[i],maxLen[j]+1); 
}
cout << * max_element(maxLen+1,maxLen + N + 1 );
return 0;
} //时间复杂度O(N2)

动归的常用两种形式

1）递归型

优点：直观，容易编写
缺点：可能会因递归层数太深导致爆栈，函数调用带来额外
时间开销。无法使用滚动数组节省空间。总体来说，比递推型
慢

1）递推型

效率高，有可能使用滚动数组节省空间