单调队列之滑动窗口
也许这种数据结构的名字你没听过， 其实没啥难的， 就是⼀个「队列」 ， 只是使⽤了⼀点巧妙的⽅法， 使得队列中的元素单调递增（或递减） 。 这个数据结构有什么⽤？ 可以解决滑动窗⼝的⼀系列问题。
看⼀道 LeetCode 题⽬， 难度 hard：
给定一个数组 nums，有一个大小为 k 的滑动窗口从数组的最左侧移动到数组的最右侧。你只可以看到在滑动窗口内的 k 个数字。滑动窗口每次只向右移动一位。
返回滑动窗口中的最大值。
示例:
输入: nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7], 和 k = 3
输出: [3,3,5,5,6,7]
解释:
滑动窗口的位置 最大值
--------------- -----
[1 3 -1] -3 5 3 6 7 3
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7 3
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7 5
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7 5
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7 6
1 3 -1 -3 5 [3 6 7] 7
⼀、 搭建解题框架
这道题不复杂， 难点在于如何在 O(1) 时间算出每个「窗⼝」 中的最⼤值，使得整个算法在线性时间完成。 在之前我们探讨过类似的场景， 得到⼀个结论：
在⼀堆数字中， 已知最值， 如果给这堆数添加⼀个数， 那么⽐较⼀下就可以很快算出最值； 但如果减少⼀个数， 就不⼀定能很快得到最值了， ⽽要遍历所有数重新找最值
回到这道题的场景， 每个窗⼝前进的时候， 要添加⼀个数同时减少⼀个数，所以想在
的时间得出新的最值， 就需要「单调队列」 这种特殊的数据结构来辅助了
⼀个「单调队列」 的操作也不多：
class MonotonicQueue {
// 在队尾添加元素 n
void push(int n);
// 返回当前队列中的最⼤值
int max();
// 队头元素如果是 n， 删除它
void pop(int n);
}
class Solution {
public:
vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k) {
MonotonicQueue window;
vector<int> res;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if (i < k - 1) { //先把窗⼝的前 k - 1 填满
window.push(nums[i]);
}
else
{ // 窗⼝开始向前滑动
window.push(nums[i]);
res.push_back(window.max());
window.pop(nums[i - k + 1]);
// nums[i - k + 1] 就是窗⼝最后的元素
}
}
return res;
}
};
这个思路很简单， 能理解吧？ 下⾯我们开始重头戏， 单调队列的实现。
⼆、 实现单调队列数据结构
⾸先我们要认识另⼀种数据结构： deque， 即双端队列。 很简单：
class deque {
// 在队头插⼊元素 n
void push_front(int n);
// 在队尾插⼊元素 n
void push_back(int n);
// 在队头删除元素
void pop_front();
// 在队尾删除元素
void pop_back();
// 返回队头元素
int front();
// 返回队尾元素
int back();
};
这些操作的复杂度都是
「单调队列」 的核⼼思路和「单调栈」 类似。 单调队列的 push ⽅法依然在队尾添加元素， 但是要把前⾯⽐新元素⼩的元素都删掉：
class MonotonicQueue {
private:
deque<int> data;
public:
void push(int n)
{
while (!data.empty() && data.back() < n)
data.pop_back();
data.push_back(n);
}
};
你可以想象， 加⼊数字的⼤⼩代表⼈的体重， 把前⾯体重不⾜的都压扁了，直到遇到更⼤的量级才停住。
如果每个元素被加⼊时都这样操作， 最终单调队列中的元素⼤⼩就会保持⼀个单调递减的顺序， 因此我们的 max() API 可以可以这样写：
int max() {
return data.front();
}
pop() API 在队头删除元素 n， 也很好写：
void pop(int n) {
if (!data.empty() && data.front() == n)
data.pop_front();
}
之所以要判断 data.front() == n ， 是因为我们想删除的队头元素 n 可能已经被「压扁」 了， 这时候就不⽤删除了
⾄此， 单调队列设计完毕， 看下完整的解题代码：
class MonotonicQueue
{
private:
deque<int> data;
public:
void push(int n)
{
while (!data.empty() && data.back() < n)
data.pop_back();
data.push_back(n);
}
int max()
{
return data.front();
}
void pop(int n)
{
if (!data.empty() && data.front() == n)
data.pop_front();
}
};
vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k)
{
MonotonicQueue window;
vector<int> res;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
if (i < k - 1)
{ //先填满窗⼝的前 k - 1
window.push(nums[i]);
}
else
{ // 窗⼝向前滑动
window.push(nums[i]);
res.push_back(window.max());
window.pop(nums[i - k + 1]);
}
}
return res;
}
读者可能疑惑， push 操作中含有 while 循环， 时间复杂度不是
呀， 那
么本算法的时间复杂度应该不是线性时间吧？
单独看 push 操作的复杂度确实不是 ， 但是算法整体的复杂度依然是 线性时间。 要这样想， nums 中的每个元素最多被 和 ⼀次， 没有任何多余操作， 所以整体的复杂度还是 。空间复杂度就很简单了， 就是窗⼝的⼤⼩ 。
